Решите систему уравнений cases5x^(2)+y^(2)=36, 10x^(2)+2y^(2)=36x.cases

Задача №19055: Уравнения, неравенства и их системы

Рассмотрим систему

{5 x^{2} + y^{2} = 36, 10 x^{2} + 2 y^{2} = 36 x .

Шаг 1. Замечаем связь между уравнениями.

Левая часть второго уравнения равна удвоенной левой части первого:

10 x^{2} + 2 y^{2} = 2 (5 x^{2} + y^{2}) .

Шаг 2. Подставляем значение из первого уравнения.

По первому уравнению $5 x^{2} + y^{2} = 36,$ поэтому

2 \cdot 36 = 36 x, 72 = 36 x, x = 2.

Шаг 3. Находим $y .$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение:

5 \cdot 2^{2} + y^{2} = 36, 20 + y^{2} = 36, y^{2} = 16, y = \pm 4.

Шаг 4. Проверка.

Для пары $(2; 4) :$ $5 \cdot 4 + 16 = 36$ — верно; $10 \cdot 4 + 2 \cdot 16 = 40 + 32 = 72 = 36 \cdot 2$ — верно.

Для пары $(2; - 4)$ значения $x^{2}$ и $y^{2}$ те же, поэтому оба уравнения также выполняются.

Ответ: $(2; 4),$ $(2; - 4) .$