Задача №20993

Скорость фотосинтеза листа (в миллиграммах углекислого газа, поглощаемых за час) зависит от освещённости $I$ (в килолюксах) по формуле

$$F(I)=\frac{25I}{2+I}-0,5I,I\ge 0,$$

где первое слагаемое описывает поглощение углекислого газа, а второе — потери из-за дыхания и светового угнетения. Какова наибольшая скорость фотосинтеза и при какой освещённости она достигается?

Найдём производную. Для первого слагаемого по правилу дифференцирования частного:

$${\left(\frac{25I}{2+I}\right)}^{\prime }=\frac{25(2+I)-25I}{(2+I{)}^2}=\frac{50}{(2+I{)}^2}.$$

Следовательно,

$$F^{\prime }(I)=\frac{50}{(2+I{)}^2}-0,5,I\ge 0.$$

Приравняем к нулю:

$$\frac{50}{(2+I{)}^2}=0,5,(2+I{)}^2=100,2+I=10(\text{так как }2+I>0),I=8.$$

Определим характер точки. Функция $\frac{50}{(2+I{)}^2}$ убывает при $I\ge 0\text{,}$ поэтому $F^{\prime }(I)>0$ при $0\le I<8$ и $F^{\prime }(I)<0$ при $I>8\text{.}$ Значит, $I=8$ — точка максимума, и она лежит в допустимой области $I\ge 0\text{.}$

Наибольшая скорость фотосинтеза:

$$F(8)=\frac{25\cdot 8}{2+8}-0,5\cdot 8=\frac{200}{10}-4=20-4=16.$$

Для сравнения: $F(4)=\frac{100}{6}-2\approx 14,7\text{,}$ $F(16)=\frac{400}{18}-8\approx 14,2\text{.}$

Интерпретация: лист поглощает углекислый газ быстрее всего при освещённости 8 килолюкс; скорость фотосинтеза при этом равна 16 миллиграммам углекислого газа в час. Дальнейшее увеличение освещённости не помогает, а вредит.

Ответ: 16 мг углекислого газа в час при освещённости 8 клк.