Задача №20991

После однократного приёма препарата его концентрация в крови (в миллиграммах на литр) меняется со временем по закону

$$C(t)=\frac{24t}{t^2+9},$$

где $t>0$ — время в часах, прошедшее с момента приёма. Найдите наибольшую концентрацию препарата в крови.

Рассмотрим функцию $C(t)=\frac{24t}{t^2+9}$ при $t>0$ и найдём её производную по правилу дифференцирования частного:

$$C^{\prime }(t)=\frac{24\left(t^2+9\right)-24t\cdot 2t}{{\left(t^2+9\right)}^2}=\frac{24\left(9-t^2\right)}{{\left(t^2+9\right)}^2}.$$

Знаменатель положителен при всех $t\text{,}$ поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $9-t^2\text{.}$ При $0<t<3$ оно положительно, при $t>3$ отрицательно. Значит, функция возрастает на $(0;3)$ и убывает на $(3;+\infty )\text{,}$ и $t=3$ — точка максимума, лежащая в допустимой области $t>0\text{.}$

Наибольшая концентрация:

$$C(3)=\frac{24\cdot 3}{9+9}=\frac{72}{18}=4\text{(мг/л)}.$$

Для сравнения: $C(1)=2,4$ мг/л, $C(6)=3,2$ мг/л.

Интерпретация: концентрация препарата в крови достигает наибольшего значения через 3 часа после приёма и равна 4 миллиграммам на литр.

Ответ: 4 мг/л.