Задача №20992

Реакция идёт в две последовательные стадии: исходное вещество превращается в промежуточное, а то — в конечный продукт. Концентрация промежуточного вещества (в миллиграммах на литр) меняется по закону

$$c(t)=20t{e}^{-t/3},$$

где $t>0$ — время в часах от начала реакции. Через какое время после начала реакции концентрация промежуточного вещества будет наибольшей?

Найдём производную произведения:

$$c^{\prime }(t)=20e^{-t/3}+20t\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)e^{-t/3}=20e^{-t/3}\left(1-\frac{t}{3}\right).$$

Множитель $20e^{-t/3}$ положителен при всех $t\text{,}$ поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $1-\frac{t}{3}\text{.}$ При $0<t<3$ оно положительно, при $t>3$ отрицательно. Значит, функция возрастает на $(0;3)$ и убывает на $(3;+\infty )\text{,}$ и $t=3$ — точка максимума, лежащая в допустимой области $t>0\text{.}$

Значение концентрации в этой точке:

$$c(3)=20\cdot 3\cdot e^{-1}=\frac{60}{e}\approx 22,1\text{(мг/л)}.$$

Для сравнения: $c(1)=20e^{-1/3}\approx 14,3$ мг/л, $c(6)=120e^{-2}\approx 16,2$ мг/л.

Интерпретация: концентрация промежуточного вещества достигает наибольшего значения (около 22,1 мг/л) через 3 часа после начала реакции; именно в этот момент выгоднее всего отбирать пробу.

Ответ: через 3 часа.