Задача №20990

Биологи установили, что годовой прирост популяции карпа в озере зависит от её численности $N$ (в тысячах особей) по формуле

$$v(N)=0,4N\left(1-\frac{N}{60}\right)$$

тысяч особей в год, где $0<N<60\text{.}$ Рыбхоз хочет ежегодно вылавливать ровно столько рыбы, сколько её прирастает за год, чтобы численность популяции не менялась. Какой наибольший ежегодный вылов можно обеспечить при таком условии?

Если ежегодно вылавливать весь прирост, то величина вылова равна $v(N)\text{.}$ Раскроем скобки:

$$v(N)=0,4N-\frac{0,4N^2}{60}=0,4N-\frac{N^2}{150},0<N<60.$$

Найдём производную:

$$v^{\prime }(N)=0,4-\frac{2N}{150}=0,4-\frac{N}{75}.$$

$v^{\prime }(N)=0$ при $N=30\text{.}$ При $0<N<30$ производная положительна, при $30<N<60$ отрицательна, значит, $N=30$ — точка максимума, и она принадлежит допустимому интервалу. (Тот же вывод даёт вершина параболы ветвями вниз.)

Наибольший прирост:

$$v(30)=0,4\cdot 30\cdot \left(1-\frac{30}{60}\right)=12\cdot 0,5=6\text{(тыс. особей в год)}.$$

Для сравнения: при $N=20$ прирост равен $8\cdot \frac{2}{3}\approx 5,3$ тыс., при $N=45$ — $18\cdot 0,25=4,5$ тыс. особей в год.

Интерпретация: рыбхозу следует поддерживать численность популяции на уровне 30 тысяч особей — тогда ежегодный вылов будет наибольшим и составит 6 тысяч особей в год.

Ответ: 6 тысяч особей в год.