Завод A расположен в 3 км от прямолинейного участка железной дороги; точка H — основание перпендикуляра, опущенного из A на эту дорогу. Станция B находится на железной дороге в 8 км от точки H. От завода к станции прокладывают шоссе по ломаной A→C→B, где C — точка железной дороги, лежащая между H и B. Прокладка участка AC по пересечённой местности стоит 5 млн рублей за километр, а участка CB вдоль насыпи — 3 млн рублей за километр. Какова наименьшая возможная стоимость шоссе?
Пусть HC=x км, где 0≤x≤8. Треугольник AHC прямоугольный с катетами 3 и x, поэтому по теореме Пифагора AC=9+x2. Длина второго участка равна CB=8−x. Стоимость шоссе (в млн рублей):
F(x)=59+x2+3(8−x),0≤x≤8.Найдём производную:
F′(x)=5⋅9+x2x−3=9+x25x−39+x2.Приравняем к нулю: 5x=39+x2. Левая часть неотрицательна лишь при x≥0, что выполнено; возведём в квадрат:
25x2=9(9+x2),16x2=81,x=49=2,25 (x≥0).Определим характер точки: F′(0)=−3<0, а F′(8)=7340−3≈4,68−3>0. Значит, на [0;2,25) функция убывает, на (2,25;8] возрастает, и x=2,25 — точка минимума, принадлежащая отрезку.
Вычислим стоимость. Так как 9+(49)2=9+1681=16225, то AC=415=3,75 км, а CB=8−2,25=5,75 км. Тогда
F(2,25)=5⋅3,75+3⋅5,75=18,75+17,25=36 (млн руб.).Для сравнения: если вести шоссе прямо в H, а затем вдоль насыпи, стоимость равна 5⋅3+3⋅8=39 млн руб.; если вести напрямую до станции, то 573≈42,7 млн руб.
Интерпретация: точку выхода на железную дорогу надо взять в 2,25 км от H в сторону станции; тогда шоссе обойдётся дешевле всего — в 36 млн рублей.
Ответ: 36 млн рублей.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
sdamex
sdamex