Из квадратного листа жести со стороной 60 см изготавливают открытую сверху коробку: по углам листа вырезают четыре одинаковых квадрата со стороной x см, а получившиеся боковые полосы загибают вверх под прямым углом. Какой наибольший объём может иметь такая коробка?
После вырезания квадратов дно коробки — квадрат со стороной 60−2x см, а высота коробки равна x см. Значит,
V(x)=x(60−2x)2.Сторона дна должна быть положительной, поэтому 60−2x>0, и вместе с x>0 получаем допустимую область 0<x<30.
Найдём производную:
V′(x)=(60−2x)2+x⋅2(60−2x)⋅(−2)=(60−2x)[(60−2x)−4x]=(60−2x)(60−6x).На интервале (0;30) множитель 60−2x положителен, поэтому знак производной определяется множителем 60−6x: при 0<x<10 производная положительна, при 10<x<30 отрицательна. Значит, x=10 — точка максимума, и она принадлежит допустимой области.
Наибольший объём:
V(10)=10⋅(60−20)2=10⋅1600=16000 (см3).Для сравнения: V(8)=8⋅442=15488 см3, V(12)=12⋅362=15552 см3.
Интерпретация: надо вырезать по углам квадраты со стороной 10 см; тогда получится коробка с дном 40 см на 40 см и высотой 10 см, её объём наибольший и равен 16 000 см3, то есть 16 литров.
Ответ: 16 000 см³.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
sdamex
sdamex