Задача №20987

Для фермы нужно огородить прямоугольный загон и разделить его перегородкой на два равных прямоугольных участка; перегородка параллельна одной из сторон загона. Всего есть 240 м сетки, которая идёт и на внешнюю ограду, и на перегородку. Какую наибольшую площадь может иметь загон?

Пусть $x$ м — длина стороны загона, параллельной перегородке, и $y$ м — длина другой стороны. Тогда перегородка имеет длину $x\text{,}$ а вся сетка расходуется так:

Обе стороны положительны, поэтому $0<x<80\text{.}$

Площадь загона:

Исследуем функцию: $S^{\prime }(x)=120-3x\text{,}$ поэтому $S^{\prime }(x)=0$ при $x=40\text{.}$ При $0<x<40$ производная положительна, при $40<x<80$ отрицательна, значит, $x=40$ — точка максимума, принадлежащая допустимой области. (Тот же вывод даёт вершина параболы ветвями вниз.)

Тогда $y=\frac{240-120}{2}=60\text{,}$ и наибольшая площадь равна

Проверим расход сетки: $3\cdot 40+2\cdot 60=120+120=240$ м — всё верно. Для сравнения: при $x=30$ получаем $y=75$ и $S=2250$ м${}^2\text{,}$ при $x=50$ получаем $y=45$ и $S=2250$ м${}^2\text{.}$

Интерпретация: загон надо сделать размером 40 м на 60 м, поставив перегородку длиной 40 м; тогда его площадь будет наибольшей и составит 2400 квадратных метров.

Ответ: 2400 м².