Задача №20988

Открытый сверху бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном и вмещает 32 литра. Найдите наименьшую возможную площадь его поверхности (дно и четыре боковые стенки). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Объём бака равен $32$ л $=32000$ см${}^3\text{.}$ Пусть $x$ см — сторона квадратного дна, $h$ см — высота бака, $x>0\text{.}$ Тогда $x^{2}h=32000\text{,}$ откуда $h=\frac{32000}{x^2}\text{.}$

Площадь поверхности бака (дно и четыре стенки):

Найдём производную:

При $x>0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $x^3-64000\text{.}$ Оно обращается в нуль при $x=40\text{,}$ отрицательно при $0<x<40$ и положительно при $x>40\text{.}$ Значит, функция убывает на $(0;40)$ и возрастает на $(40;+\infty )\text{,}$ и $x=40$ — точка минимума, принадлежащая допустимой области.

Наименьшая площадь поверхности:

При этом $h=\frac{32000}{1600}=20$ см. Проверка объёма: $40\cdot 40\cdot 20=32000$ см${}^3\text{.}$ Для сравнения: при $x=30$ площадь равна $900+4266\frac{2}{3}\approx 5167$ см${}^2\text{,}$ при $x=50$ — $2500+2560=5060$ см${}^2\text{.}$

Интерпретация: наименьший расход материала будет у бака с дном 40 см на 40 см и высотой 20 см; на него уйдёт 4800 квадратных сантиметров жести.

Ответ: 4800 см².