Задача №20985

Ротор с небольшим дисбалансом вращается с угловой скоростью $\omega$ рад/с и вызывает вынужденные колебания станины станка. Амплитуда колебаний станины (в миллиметрах) выражается формулой

$$A(\omega )=\frac{0,9{\omega }^2}{\sqrt{{\left(100-{\omega }^2\right)}^2+150{\omega }^2}},\omega >0.$$

При какой угловой скорости ротора амплитуда колебаний станины будет наибольшей?

Здесь от $\omega$ зависит и числитель, и знаменатель, поэтому сначала преобразуем выражение. Разделим числитель и знаменатель на ${\omega }^2>0\text{;}$ при этом под корнем надо делить на ${\omega }^4\text{:}$

$$A(\omega )=\frac{0,9}{\sqrt{\frac{{\left(100-{\omega }^2\right)}^2+150{\omega }^2}{{\omega }^4}}}=\frac{0,9}{\sqrt{{\left(\frac{100}{{\omega }^2}-1\right)}^2+\frac{150}{{\omega }^2}}}.$$

Числитель теперь постоянен, значит, амплитуда наибольшая тогда, когда подкоренное выражение наименьшее. Сделаем замену $s=\frac{1}{{\omega }^2}\text{;}$ при $\omega >0$ величина $s$ пробегает все положительные значения. Получаем

$$g(s)=(100s-1{)}^2+150s=10000s^2-200s+1+150s=10000s^2-50s+1.$$

Это квадратичная функция со старшим коэффициентом $10000>0\text{,}$ её наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$s=-\frac{-50}{2\cdot 10000}=0,0025.$$

Это значение положительно, то есть допустимо.

Возвращаемся к угловой скорости:

$$\frac{1}{{\omega }^2}=0,0025⟹{\omega }^2=400⟹\omega =20\text{(рад/с)},$$

так как $\omega >0\text{.}$

Проверим: $g(0,0025)=0,0625-0,125+1=0,9375\text{,}$ поэтому $A(20)=\frac{0,9}{\sqrt{0,9375}}\approx 0,93$ мм, тогда как $A(10)=\frac{0,9\cdot 100}{\sqrt{15000}}\approx 0,73$ мм и $A(40)\approx 0,91$ мм.

Интерпретация: станина раскачивается сильнее всего при угловой скорости ротора 20 рад/с; амплитуда колебаний при этом около 0,93 мм. Именно этой скорости вращения следует избегать при разгоне и выбеге станка.

Ответ: 20 рад/с.