Задача №20983

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний груза на пружине (в миллиметрах) зависит от циклической частоты $\omega$ вынуждающей силы (в радианах в секунду) по формуле

$$A(\omega )=\frac{240}{\sqrt{{\left(100-{\omega }^2\right)}^2+72{\omega }^2}}.$$

При какой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний груза будет наибольшей?

Числитель дроби постоянен, поэтому амплитуда наибольшая тогда, когда подкоренное выражение

$$f(\omega )={\left(100-{\omega }^2\right)}^2+72{\omega }^2,\omega >0,$$

принимает наименьшее значение.

Сделаем замену $u={\omega }^2\text{,}$ причём $u>0\text{.}$ Тогда

$$g(u)=(100-u{)}^2+72u=10000-200u+u^2+72u=u^2-128u+10000.$$

Это квадратичная функция со старшим коэффициентом $1>0\text{,}$ её график — парабола ветвями вверх, наименьшее значение достигается в вершине:

$$u=-\frac{-128}{2\cdot 1}=64.$$

Значение $u=64$ удовлетворяет условию $u>0\text{.}$ (Тот же результат даёт производная: $g^{\prime }(u)=2u-128\text{,}$ она отрицательна при $u<64$ и положительна при $u>64\text{.}$)

Так как $u={\omega }^2$ и $\omega >0\text{,}$ получаем $\omega =\sqrt{64}=8$ (рад/с). Функция $u={\omega }^2$ возрастает при $\omega >0\text{,}$ поэтому наименьшему $u$ отвечает именно эта частота, и она даёт максимум амплитуды.

Наибольшая амплитуда:

$$A(8)=\frac{240}{\sqrt{(100-64{)}^2+72\cdot 64}}=\frac{240}{\sqrt{1296+4608}}=\frac{240}{\sqrt{5904}}\approx 3,1\text{(мм)}.$$

Для сравнения: $A(10)=\frac{240}{\sqrt{7200}}\approx 2,8$ мм, $A(6)=\frac{240}{\sqrt{6688}}\approx 2,9$ мм.

Интерпретация: раскачка груза максимальна, если вынуждающая сила действует с циклической частотой 8 рад/с; амплитуда колебаний при этом составляет около 3,1 мм.

Ответ: 8 рад/с.