Задача №20984

Судно испытывает вынужденную бортовую качку на волнении. Амплитуда качки (в градусах) зависит от периода волны $\tau$ (в секундах) по формуле

$$A(\tau )=\frac{k{\phi }_0}{\sqrt{{\left(\frac{T^2}{{\tau }^2}-1\right)}^2+1,5\cdot \frac{T^2}{{\tau }^2}}},$$

где $k{\phi }_0=6$ — постоянная, зависящая от обводов судна и наибольшего угла волнового склона, а $T=6$ с — период собственных колебаний судна на тихой воде. При каком периоде волны амплитуда качки будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Числитель дроби постоянен, поэтому амплитуда наибольшая тогда, когда подкоренное выражение принимает наименьшее значение. Подставим $T=6\text{,}$ тогда $T^2=36\text{,}$ и надо найти наименьшее значение выражения

$$f(\tau )={\left(\frac{36}{{\tau }^2}-1\right)}^2+1,5\cdot \frac{36}{{\tau }^2},\tau >0.$$

Сделаем замену $u=\frac{36}{{\tau }^2}\text{.}$ При $\tau >0$ величина $u$ пробегает все положительные значения, причём зависимость убывающая. Получаем

$$g(u)=(u-1{)}^2+1,5u=u^2-2u+1+1,5u=u^2-0,5u+1.$$

Это квадратичная функция со старшим коэффициентом $1>0\text{,}$ её наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$u=-\frac{-0,5}{2\cdot 1}=0,25.$$

Значение $u=0,25$ положительно, то есть допустимо. (Производная $g^{\prime }(u)=2u-0,5$ отрицательна при $u<0,25$ и положительна при $u>0,25\text{,}$ что подтверждает минимум.)

Возвращаемся к периоду:

$$\frac{36}{{\tau }^2}=0,25⟹{\tau }^2=144⟹\tau =12\text{(с)},$$

так как $\tau >0\text{.}$

Проверим значение амплитуды: $g(0,25)=0,0625-0,125+1=0,9375\text{,}$ поэтому

$$A(12)=\frac{6}{\sqrt{0,9375}}\approx 6,2^{\circ },$$

тогда как $A(6)=\frac{6}{\sqrt{1,5}}\approx 4,9^{\circ }$ и $A(20)\approx 6,1^{\circ }\text{.}$

Интерпретация: сильнее всего судно раскачивается на волне с периодом 12 секунд; амплитуда качки при этом составляет примерно 6,2 градуса.

Ответ: 12 секунд.