Задача №20982

Последовательный колебательный контур подключён к источнику переменного напряжения с действующим значением $U=120$ В. Действующая сила тока в контуре (в амперах) зависит от циклической частоты $\omega$ (в радианах в секунду) по формуле

$$I(\omega )=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}},$$

где $R=30$ Ом — активное сопротивление, $L=0,02$ Гн — индуктивность катушки, $C=5\cdot 10^{-5}$ Ф — ёмкость конденсатора. Какова наибольшая сила тока в контуре и при какой частоте она достигается?

Числитель дроби постоянен, поэтому сила тока наибольшая тогда, когда подкоренное выражение

$$f(\omega )=R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2,\omega >0,$$

принимает наименьшее значение.

Обозначим $\phi (\omega )=\omega L-\frac{1}{\omega C}\text{.}$ Тогда $f=R^2+{\phi }^2$ и

$$f^{\prime }(\omega )=2\phi (\omega )\cdot {\phi }^{\prime }(\omega )=2\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\left(L+\frac{1}{{\omega }^{2}C}\right).$$

Второй множитель при $\omega >0$ положителен, поэтому знак $f^{\prime }$ совпадает со знаком выражения $\omega L-\frac{1}{\omega C}\text{.}$ Оно обращается в нуль при ${\omega }^2=\frac{1}{LC}\text{,}$ то есть при ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\text{,}$ отрицательно при $0<\omega <{\omega }_0$ и положительно при $\omega >{\omega }_0\text{.}$ Значит, ${\omega }_0$ — точка минимума функции $f$ и, следовательно, точка максимума силы тока (резонанс).

Вычислим: $LC=0,02\cdot 5\cdot 10^{-5}=10^{-6}\text{,}$ поэтому

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{10^{-6}}}=1000\text{(рад/с)}.$$

При этой частоте $f({\omega }_0)=R^2\text{,}$ и сила тока равна

$$I({\omega }_0)=\frac{U}{R}=\frac{120}{30}=4\text{(А)}.$$

Для сравнения: и при $\omega =500$ рад/с, и при $\omega =2000$ рад/с получаем $I=\frac{120}{\sqrt{900+900}}\approx 2,8$ А.

Интерпретация: сила тока в контуре наибольшая при резонансе, то есть при частоте источника 1000 рад/с; она равна 4 амперам.

Ответ: 4 А при частоте 1000 рад/с.