Задача №20981

Струя воды сечением $S=0,0025$ м${}^2\text{,}$ движущаяся со скоростью $v=30$ м/с, бьёт по лопатке турбины, которая движется в направлении струи со скоростью $u$ м/с, где $0\le u\le v\text{.}$ Мощность (в ваттах), передаваемая струёй лопатке, вычисляется по формуле

$$P=2\rho S(v-u{)}^{2}u,$$

где $\rho =1000$ кг/м${}^3$ — плотность воды. Какова наибольшая мощность, которую струя может передать лопатке?

Подставим данные: $2\rho S=2\cdot 1000\cdot 0,0025=5\text{,}$ поэтому

$$P(u)=5(30-u{)}^{2}u,0\le u\le 30.$$

Найдём производную:

$$P^{\prime }(u)=5\left[(30-u{)}^2+u\cdot 2(30-u)\cdot (-1)\right]=5(30-u)\left[(30-u)-2u\right]=5(30-u)(30-3u).$$

На отрезке $[0;30]$ множитель $30-u$ неотрицателен, поэтому знак производной определяется множителем $30-3u\text{:}$ при $0\le u<10$ производная положительна, при $10<u<30$ отрицательна. Значит, $u=10$ — точка максимума, и она принадлежит допустимому отрезку.

Наибольшая мощность:

$$P(10)=5\cdot (30-10{)}^2\cdot 10=5\cdot 400\cdot 10=20000\text{(Вт)}=20\text{кВт}.$$

Для сравнения: $P(5)=5\cdot 625\cdot 5\approx 15,6$ кВт, $P(15)=5\cdot 225\cdot 15\approx 16,9$ кВт. На концах отрезка $P(0)=P(30)=0\text{.}$

Интерпретация: наибольшую мощность 20 кВт струя передаёт лопатке, когда та движется со скоростью 10 м/с, то есть втрое медленнее струи.

Ответ: 20 кВт.