Задача №20979

Источник тока с ЭДС $\epsilon =24$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключён к нагрузке длинными проводами, суммарное сопротивление которых $R_0=1$ Ом. Сопротивление нагрузки $R$ (в омах) регулируется реостатом. Сила тока в цепи (в амперах) находится по закону Ома для полной цепи:

$$I=\frac{\epsilon }{R+r+R_0},$$

а тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, — по закону Джоуля — Ленца: $P=I^{2}R\text{.}$ Какова наибольшая тепловая мощность, которую можно выделить в нагрузке?

Подставим силу тока в формулу мощности:

$$P(R)={\left(\frac{\epsilon }{R+r+R_0}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{{\left(R+r+R_0\right)}^2}=\frac{576R}{(R+3{)}^2}.$$

Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем $R\ge 0\text{.}$

Найдём производную:

$$P^{\prime }(R)=576\cdot \frac{(R+3{)}^2-R\cdot 2(R+3)}{(R+3{)}^4}=576\cdot \frac{(R+3)-2R}{(R+3{)}^3}=\frac{576(3-R)}{(R+3{)}^3}.$$

При $R\ge 0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $3-R\text{:}$ при $0\le R<3$ производная положительна и функция возрастает, при $R>3$ производная отрицательна и функция убывает. Значит, $R=3$ — точка максимума, и она лежит в допустимой области.

Наибольшая мощность:

$$P(3)=\frac{576\cdot 3}{36}=48\text{(Вт)}.$$

Проверка: при $R=3$ Ом сила тока равна $I=\frac{24}{3+2+1}=4$ А, и $P=4^2\cdot 3=48$ Вт. Для сравнения: при $R=2$ Ом $P\approx 46,1$ Вт, при $R=5$ Ом $P=45$ Вт.

Интерпретация: реостат надо выставить на 3 Ома — тогда в нагрузке выделится наибольшая тепловая мощность, равная 48 Вт.

Ответ: 48 Вт.