Задача №20978

С балкона, расположенного на высоте $h_0=2$ м над землёй, вертикально вверх бросают мяч со скоростью $v_0=20$ м/с. Высота мяча над землёй (в метрах) через $t$ секунд после броска задаётся формулой

$$h(t)=h_0+v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2},$$

где $g=10$ м/с${}^2$ — ускорение свободного падения. На какую наибольшую высоту над землёй поднимется мяч?

Подставим данные в формулу:

$$h(t)=2+20t-5t^2.$$

Мяч летит с момента броска до падения на землю, поэтому $t\ge 0\text{.}$

Найдём производную: $h^{\prime }(t)=20-10t\text{;}$ $h^{\prime }(t)=0$ при $t=2\text{.}$ При $0\le t<2$ производная положительна и мяч поднимается, при $t>2$ производная отрицательна и мяч опускается. Значит, $t=2$ — точка максимума, и она лежит в допустимой области. Тот же вывод даёт вершина параболы: коэффициент при $t^2$ равен $-5<0\text{,}$ абсцисса вершины $t=-\frac{20}{2\cdot (-5)}=2\text{.}$

Наибольшая высота:

$$h(2)=2+20\cdot 2-5\cdot 4=2+40-20=22\text{(м)}.$$

Для сравнения: $h(1)=17$ м, $h(3)=17$ м.

Интерпретация: через 2 секунды после броска мяч достигает наивысшей точки, находясь на высоте 22 метра над землёй.

Ответ: 22 метра.