Задача №20980

Расход топлива катера при равномерном движении со скоростью $v$ км/ч задаётся формулой $q(v)=16+0,001v^3$ литров в час, где $0<v\le 60\text{.}$ При какой скорости расход топлива на один километр пути будет наименьшим?

За один час катер проходит $v$ километров и расходует $q(v)$ литров топлива, значит, расход на один километр равен

Найдём производную:

При $v>0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $0,002v^3-16\text{.}$ Оно обращается в нуль при $v^3=8000\text{,}$ то есть при $v=20\text{;}$ при $0<v<20$ оно отрицательно, при $v>20$ положительно. Значит, функция убывает на $(0;20)$ и возрастает на $(20;60]\text{,}$ и $v=20$ — точка минимума, принадлежащая допустимому промежутку.

Наименьший расход на километр:

Для сравнения: $g(10)=1,7$ л/км, $g(40)=2,0$ л/км.

Интерпретация: экономичнее всего идти со скоростью 20 км/ч; при этом на каждый километр пути катер тратит 1,2 литра топлива.

Ответ: 20 км/ч.