Задача №20977

Компания выделила 100 млн рублей на рекламу в двух городах и расходует эти деньги полностью. Если в первом городе вложить $x$ млн рублей, прирост продаж в нём составит $12\sqrt{x}$ млн рублей; если во втором городе вложить $y$ млн рублей, прирост составит $16\sqrt{y}$ млн рублей. Каков наибольший суммарный прирост продаж, который может получить компания?

Пусть в первый город вложено $x$ млн рублей, тогда во второй — $100-x$ млн рублей, $0\le x\le 100\text{.}$ Суммарный прирост продаж:

Найдём производную на интервале $(0;100)\text{:}$

Приравняем производную к нулю: $6\sqrt{100-x}=8\sqrt{x}\text{.}$ Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

Определим характер этой точки. При $0<x<36$ производная положительна: например, $S^{\prime }(25)=\frac{6}{5}-\frac{8}{\sqrt{75}}\approx 1,2-0,92>0\text{.}$ При $36<x<100$ производная отрицательна: например, $S^{\prime }(64)=\frac{6}{8}-\frac{8}{6}=0,75-1,33<0\text{.}$ Значит, на $(0;36)$ функция возрастает, на $(36;100)$ убывает, и $x=36$ — точка максимума.

Сравним значение в этой точке со значениями на концах отрезка:

Наибольшее из них равно 200.

Интерпретация: бюджет следует разделить так: 36 млн рублей на рекламу в первом городе и 64 млн рублей во втором; тогда суммарный прирост продаж будет наибольшим и составит 200 млн рублей.

Ответ: 200 млн рублей.