Задача №20973

Заводу требуется 3600 тонн сырья в год. Сырьё завозят равными партиями по $x$ тонн, $0<x\le 3600\text{.}$ Каждая поставка обходится в 200 тысяч рублей независимо от размера партии, а хранение стоит 4 тысячи рублей за тонну в год, причём средняя масса запаса на складе равна половине партии. При каком размере партии суммарные годовые расходы на поставку и хранение будут наименьшими?

За год потребуется $\frac{3600}{x}$ поставок, расходы на них составят $200\cdot \frac{3600}{x}=\frac{720000}{x}$ тыс. руб. Средний запас равен $\frac{x}{2}$ тонн, поэтому расходы на хранение равны $4\cdot \frac{x}{2}=2x$ тыс. руб. Суммарные годовые расходы:

Находим производную:

При $x>0$ знак $F^{\prime }$ совпадает со знаком выражения $x^2-360000\text{,}$ то есть $F^{\prime }(x)<0$ при $0<x<600$ и $F^{\prime }(x)>0$ при $x>600\text{.}$ Функция убывает на $(0;600)$ и возрастает на $(600;3600]\text{,}$ значит, $x=600$ — точка минимума, принадлежащая допустимой области.

Наименьшие расходы:

Для сравнения: $F(400)=1800+800=2600\text{,}$ $F(900)=800+1800=2600\text{.}$

Интерпретация: выгоднее всего возить сырьё партиями по 600 тонн, то есть делать 6 поставок в год; тогда суммарные годовые расходы на поставку и хранение будут наименьшими и составят 2400 тысяч рублей.

Ответ: 600 тонн.