Цех выпускает x тысяч деталей в месяц, причём по технологическим причинам 0≤x≤10. Суммарные затраты цеха на выпуск x тысяч деталей составляют C(x)=2x2+6x+40 миллионов рублей, а каждая тысяча деталей продаётся за 30 миллионов рублей. При каком месячном выпуске прибыль цеха будет наибольшей?
Выручка цеха при выпуске x тысяч деталей равна 30x млн руб. Прибыль — это разность выручки и затрат:
P(x)=30x−(2x2+6x+40)=−2x2+24x−40.По условию x∈[0;10].
Исследуем функцию P на этом отрезке: P′(x)=−4x+24, значит, P′(x)=0 при x=6. На промежутке [0;6) производная положительна и функция возрастает, на промежутке (6;10] производная отрицательна и функция убывает. Следовательно, x=6 — точка максимума, и она принадлежит допустимому промежутку. Тот же вывод даёт вершина параболы: старший коэффициент −2<0, абсцисса вершины x=−2⋅(−2)24=6.
Наибольшее значение прибыли:
P(6)=−2⋅36+24⋅6−40=−72+144−40=32 (млн руб.).Для сравнения, P(5)=P(7)=30 млн руб.
Интерпретация: прибыль цеха наибольшая, если он выпускает 6 тысяч деталей в месяц; при этом прибыль составит 32 млн рублей.
Ответ: 6 тысяч деталей в месяц.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
sdamex
sdamex