Задача №20939

Автомат фасует крупу в пачки. Масса пачки распределена нормально с математическим ожиданием 500 г и стандартным отклонением 4 г. Пачка бракуется, если её масса отличается от 500 г более чем на 12 г. Сколько бракованных пачек в среднем окажется в партии из 20 000 пачек?

Считайте, что для нормально распределённой величины $X$ с математическим ожиданием $a$ и стандартным отклонением $\sigma$ выполнены равенства $P(a-\sigma <X<a+\sigma )=0,68\text{,}$ $P(a-2\sigma <X<a+2\sigma )=0,95\text{,}$ $P(a-3\sigma <X<a+3\sigma )=0,997\text{.}$

Здесь $a=500\text{,}$ $\sigma =4\text{,}$ а допуск

$$12=3\cdot 4=3\sigma .$$

Это в точности правило трёх сигм: доля пачек с массой внутри промежутка $(a-3\sigma ;a+3\sigma )\text{,}$ то есть от 488 до 512 г, равна $0,997\text{.}$ Значит, доля бракованных пачек

$$1-0,997=0,003.$$

В партии из 20 000 пачек в среднем окажется

$$0,003\cdot 20000=60$$

бракованных пачек.

Ответ: $60\text{.}$