Задача №20938

Диаметр вала, выпускаемого станком, распределён нормально с математическим ожиданием 40 мм и стандартным отклонением $0,2$ мм. Найдите долю валов, диаметр которых составляет от $39,8$ до $40,4$ мм.

Считайте, что для нормально распределённой величины $X$ с математическим ожиданием $a$ и стандартным отклонением $\sigma$ выполнены равенства $P(a-\sigma <X<a+\sigma )=0,68\text{,}$ $P(a-2\sigma <X<a+2\sigma )=0,95\text{,}$ $P(a-3\sigma <X<a+3\sigma )=0,997\text{.}$

Здесь $a=40\text{,}$ $\sigma =0,2\text{.}$ Выразим границы через $a$ и $\sigma \text{:}$

$$39,8=40-0,2=a-\sigma ,40,4=40+2\cdot 0,2=a+2\sigma .$$

Промежуток несимметричен относительно $a\text{,}$ поэтому разобьём его точкой $a=40$ и воспользуемся симметрией нормального распределения:

$$P(a-\sigma <X<a)=\frac{0,68}{2}=0,34,P(a<X<a+2\sigma )=\frac{0,95}{2}=0,475.$$

Складываем:

$$P(39,8<X<40,4)=0,34+0,475=0,815.$$

Ответ: $0,815\text{.}$