Задача №20936

Рост школьников выпускных классов распределён нормально с математическим ожиданием 165 см и стандартным отклонением 7 см. Найдите долю школьников, рост которых составляет от 151 до 179 см.

Считайте, что для нормально распределённой величины $X$ с математическим ожиданием $a$ и стандартным отклонением $\sigma$ выполнены равенства $P(a-\sigma <X<a+\sigma )=0,68\text{,}$ $P(a-2\sigma <X<a+2\sigma )=0,95\text{,}$ $P(a-3\sigma <X<a+3\sigma )=0,997\text{.}$

Здесь $a=165\text{,}$ $\sigma =7\text{.}$ Выразим границы промежутка через $a$ и $\sigma \text{:}$

$$a-2\sigma =165-2\cdot 7=165-14=151,a+2\sigma =165+14=179.$$

Значит, промежуток от 151 до 179 см — это в точности промежуток $(a-2\sigma ;a+2\sigma )\text{,}$ и по условию

$$P(151<X<179)=P(a-2\sigma <X<a+2\sigma )=0,95.$$

Ответ: $0,95\text{.}$