Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ЕГЭ 2026
sdamex
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x+1)∣x+1∣=2x−aимеет единственное решение.
Пусть f(x)=(x+1)∣x+1∣, g(x)=2x−a. Заметим, что функция g(x) задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, которая двигается вверх-вниз в зависимости от параметра a.
Рассмотрим функцию f(x) и раскроем модуль по определению:
f(x)={(x+1)2−(x+1)2при x⩾−1при x<−1Заметим, что y=(x+1)2 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в точке (−1;0), а y=−(x+1)2 задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке (−1;0).
Будем двигать прямую y=2x−a, изменяя значение параметра a от −∞ до +∞.
Случай I. Прямая касается левой ветви параболы y=−(x+1)2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). До случая I прямая имеет одну точку пересечения.
Случай II. Прямая касается правой ветви параболы y=(x+1)2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). Между случаями I и II прямая имеет три общие точки с графиком. После данного положения прямая будет иметь одну точку пересечения.
Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y=2x−a с левой ветвью параболы y=−(x+1)2, приравняв правые части их уравнений:
−(x+1)2=2x−a −x2−4x−1+a=0 x2+4x+1−a=0Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть
D=16−4⋅1⋅(1−a)=0 12+4a=0 a=−3Значит, случай I достигается при a=−3.
Найдём значения параметра a, при котором происходит касание прямой y=2x−a с правой ветвью параболы y=(x+1)2, приравняв правые части их уравнений:
(x+1)2=2x−a x2+1+a=0Данное уравнение будет иметь единственное решение, если x=0, то есть
1+a=0 a=−1Значит, случай II достигается при a=−1.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при
a∈(−∞;−3)∪(−1;+∞).