Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x + 1)|x + 1| = 2x - a имеет единственное решение.
Пусть f(x) = (x + 1)|x + 1|, g(x) = 2x - a. Заметим, что функция g(x) задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, которая двигается вверх-вниз в зависимости от параметра a. Рассмотрим функцию f(x) и раскроем модуль по определению: f(x) = cases (x + 1)^2 & при x -1 -(x + 1)^2 & при x < -1 cases Заметим, что y = (x + 1)^2 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в точке (-1; 0), а y = -(x + 1)^2 задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке (-1; 0). Будем двигать прямую y = 2x - a, изменяя значение параметра a от -inf до +inf. Случай I. Прямая касается левой ветви параболы y = -(x + 1)^2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). До случая I прямая имеет одну точку пересечения. Случай II. Прямая касается правой ветви параболы y = (x + 1)^2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). Между случаями I и II прямая имеет три общие точки с графиком. После данного положения прямая будет иметь одну точку пересечения. Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y = 2x - a с левой ветвью параболы y = -(x + 1)^2, приравняв правые части их уравнений: -(x + 1)^2 = 2x - a -x^2 - 4x - 1 + a = 0 x^2 + 4x + 1 - a = 0 Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть D = 16 - 4 * 1 * (1 - a) = 0 12 + 4a = 0 a = -3 Значит, случай I достигается при a = -3. Найдём значения параметра a, при котором происходит касание прямой y = 2x - a с правой ветвью параболы y = (x + 1)^2, приравняв правые части их уравнений: (x + 1)^2 = 2x - a x^2 + 1 + a = 0 Данное уравнение будет иметь единственное решение, если x = 0, то есть 1 + a = 0 a = -1 Значит, случай II достигается при a = -1. Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при a in (-inf; -3) U (-1; +inf).
\(a \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)\).