Задача №15418

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0$$

имеет ровно два различных корня.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$4x^2-a^2=0,x^2+6x+9-a^2\ne 0.$$

Из числителя: $x=\frac{a}{2}$ или $x=-\frac{a}{2}\text{.}$ Корни различны при $a\ne 0\text{.}$

Подставим каждый корень в условие для знаменателя.

Для $x=\frac{a}{2}\text{:}$

$${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+6\cdot \frac{a}{2}+9-a^2\ne 0\Rightarrow -\frac{3a^2}{4}+3a+9\ne 0\Rightarrow a^2-4a-12\ne 0\Rightarrow a\ne -2,a\ne 6.$$

Для $x=-\frac{a}{2}\text{:}$

$${\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+6\left(-\frac{a}{2}\right)+9-a^2\ne 0\Rightarrow -\frac{3a^2}{4}-3a+9\ne 0\Rightarrow a^2+4a-12\ne 0\Rightarrow a\ne 2,a\ne -6.$$

Таким образом, оба корня являются решениями при $a\notin \{-6;-2;0;2;6\}\text{.}$

Ответ: $a\notin \{-6;-2;0;2;6\}$