Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение: (_(2025)(x^2 + (2a+1)x + a^2 + a + 2026) - _(2025)(2x^2 + x + a^2 - a + 2025))/(sqrt(3x - a + 2025) * _(2025)(2x + a - 3)) = 0 имеет единственный корень.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. **Числитель = 0.** Логарифмы равны <=> аргументы равны (при условии их положительности): x^2 + (2a+1)x + a^2 + a + 2026 = 2x^2 + x + a^2 - a + 2025. Упрощая, получаем: x^2 - 2ax - (2a+1) = 0. Дискриминант D = 4a^2 + 8a + 4 = 4(a+1)^2 . Корни числителя: x_1 = -1, x_2 = 2a + 1. **Положительность аргументов.** Первый аргумент: x^2 + (2a+1)x + a^2 + a + 2026 = (x+a)^2 + (x+a) + 2026 = (x + a + (1)/(2))^2 + (8103)/(4) > 0 для всех x, a . Второй аргумент: 2x^2 + x + a^2 - a + 2025 . Дискриминант по x : D_x = 1 - 8(a^2 - a + 2025) = -8a^2 + 8a - 16199 . Его собственный дискриминант 64 - 4 * 8 * 16199 < 0 , а старший коэффициент -8 < 0 . Значит, D_x < 0 для любого a . Так как старший коэффициент при x^2 положителен ( 2 > 0 ), квадратный трёхчлен положителен для всех x, a . Итак, оба аргумента положительны для всех a , и корнями уравнения могут быть только x = -1 и x = 2a + 1 . **Условия знаменателя:** 1. 3x - a + 2025 > 0 (под корнем и не ноль); 2. 2x + a - 3 > 0 (аргумент логарифма); 3. 2x + a - 3 != 1 <=> 2x + a != 4 (основание логарифма не должно превращать его в ноль). **Проверка корня x = -1 :** - -3 - a + 2025 > 0 <=> a < 2022 . - -2 + a - 3 > 0 <=> a > 5 . - -2 + a != 4 <=> a != 6 . Корень x = -1 допустим при a in (5; 6) U (6; 2022) . **Проверка корня x = 2a + 1 :** - 3(2a + 1) - a + 2025 > 0 <=> 5a + 2028 > 0 <=> a > -405,6 . - 2(2a + 1) + a - 3 > 0 <=> 5a - 1 > 0 <=> a > 0,2 . - 5a + 2 != 4 <=> 5a != 2 <=> a != 0,4 . Корень x = 2a + 1 допустим при a in (0,2; 0,4) U (0,4; +inf) . **Условие единственности корня.** Если a = -1 , то корни совпадают: x_1 = x_2 = -1 . Однако при a = -1 условия для x = -1 не выполнены (так как a < 5 ), решений нет. При a != -1 корни -1 и 2a + 1 различны. Уравнение имеет ровно один корень, если ровно один из них удовлетворяет условиям знаменателя. Пусть A_1 — множество значений a , при которых допустим x = -1 , а A_2 — для x = 2a + 1 : A_1 = (5; 6) U (6; 2022), A_2 = (0,2; 0,4) U (0,4; +inf). Заметим, что A_1 c A_2 (за исключением точки 6 ). Значит, при a in A_1 (и a != 6 ) оба корня являются допустимыми и различными (дают два решения). При a in A_2 A_1 только корень x = 2a + 1 является допустимым. Проанализируем границы: - Если a in (0,2; 0,4) U (0,4; 5] , то только x = 2a + 1 подходит. - Если a = 6 , то корень x = -1 исключается (логарифм в знаменателе обращается в ноль), а x = 13 подходит. Единственный корень. - Если a in [2022; +inf) , то корень x = -1 исключается (под корнем в знаменателе не положительное число), а x = 2a + 1 подходит. Единственный корень. Собрав все случаи, получаем окончательный результат. Ответ: a in (0,2; 0,4) U (0,4; 5] U 6 U [2022; +inf) .

(0.2; 0.4) U (0.4; 5] U {6} U [2022; +inf)