Задача №17017

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение:

$$\frac{{\log }_{2025}(x^2+(2a+1)x+a^2+a+2026)-{\log }_{2025}(2x^2+x+a^2-a+2025)}{\sqrt{3x-a+2025}\cdot {\log }_{2025}(2x+a-3)}=0$$

имеет единственный корень.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля.

Числитель = 0. Логарифмы равны $\iff$ аргументы равны (при условии их положительности):

$$x^2+(2a+1)x+a^2+a+2026=2x^2+x+a^2-a+2025.$$

Упрощая, получаем:

$$x^2-2ax-(2a+1)=0.$$

Дискриминант $D=4a^2+8a+4=4(a+1{)}^2\text{.}$ Корни числителя:

$$x_1=-1,x_2=2a+1.$$

Положительность аргументов.

Первый аргумент: $x^2+(2a+1)x+a^2+a+2026=(x+a{)}^2+(x+a)+2026=(x+a+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{8103}{4}>0$ для всех $x,a\text{.}$

Второй аргумент: $2x^2+x+a^2-a+2025\text{.}$ Дискриминант по $x\text{:}$ $D_x=1-8(a^2-a+2025)=-8a^2+8a-16199\text{.}$ Его собственный дискриминант $64-4\cdot 8\cdot 16199<0\text{,}$ а старший коэффициент $-8<0\text{.}$ Значит, $D_x<0$ для любого $a\text{.}$ Так как старший коэффициент при $x^2$ положителен (
$2>0$), квадратный трёхчлен положителен для всех $x,a\text{.}$

Итак, оба аргумента положительны для всех $a\text{,}$ и корнями уравнения могут быть только $x=-1$ и $x=2a+1\text{.}$

Условия знаменателя:
1. $3x-a+2025>0$ (под корнем и не ноль);
2. $2x+a-3>0$ (аргумент логарифма);
3. $2x+a-3\ne 1\iff 2x+a\ne 4$ (основание логарифма не должно превращать его в ноль).

Проверка корня $x=-1\text{:}$

• $-3-a+2025>0\iff a<2022\text{.}$
• $-2+a-3>0\iff a>5\text{.}$
• $-2+a\ne 4\iff a\ne 6\text{.}$
  Корень $x=-1$ допустим при $a\in (5;6)\cup (6;2022)\text{.}$

Проверка корня $x=2a+1\text{:}$

• $3(2a+1)-a+2025>0\iff 5a+2028>0\iff a>-405,6\text{.}$
• $2(2a+1)+a-3>0\iff 5a-1>0\iff a>0,2\text{.}$
• $5a+2\ne 4\iff 5a\ne 2\iff a\ne 0,4\text{.}$
  Корень $x=2a+1$ допустим при $a\in (0,2;0,4)\cup (0,4;+\infty )\text{.}$

Условие единственности корня.

Если $a=-1\text{,}$ то корни совпадают: $x_1=x_2=-1\text{.}$ Однако при $a=-1$ условия для $x=-1$ не выполнены (так как $a<5$), решений нет.

При $a\ne -1$ корни $-1$ и $2a+1$ различны. Уравнение имеет ровно один корень, если ровно один из них удовлетворяет условиям знаменателя. Пусть $A_1$ — множество значений $a\text{,}$ при которых допустим $x=-1\text{,}$ а $A_2$ — для $x=2a+1\text{:}$

$$A_1=(5;6)\cup (6;2022),A_2=(0,2;0,4)\cup (0,4;+\infty ).$$

Заметим, что $A_1\subset A_2$ (за исключением точки $6$). Значит, при $a\in A_1$ (и $a\ne 6$) оба корня являются допустимыми и различными (дают два решения). При $a\in A_2\setminus A_1$ только корень $x=2a+1$ является допустимым.

Проанализируем границы:

• Если $a\in (0,2;0,4)\cup (0,4;5]\text{,}$ то только $x=2a+1$ подходит.
• Если $a=6\text{,}$ то корень $x=-1$ исключается (логарифм в знаменателе обращается в ноль), а $x=13$ подходит. Единственный корень.
• Если $a\in [2022;+\infty )\text{,}$ то корень $x=-1$ исключается (под корнем в знаменателе не положительное число), а $x=2a+1$ подходит. Единственный корень.

Собрав все случаи, получаем окончательный результат.

Ответ: $a\in (0,2;0,4)\cup (0,4;5]\cup \{6\}\cup [2022;+\infty )\text{.}$