Задача №15443

Найдите все значения $a\text{,}$ при которых уравнение
$\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2-4x-8a$
имеет ровно три различных корня.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2-4x-8a\text{.}$ Данное уравнение равносильно системе:

Раскроем квадрат в правой части уравнения:

Тогда уравнение принимает вид:

Перенесем все члены в одну сторону и упростим выражение:

Разложим выражение в скобках на множители методом группировки:

Отсюда получаем три потенциальных корня уравнения: $x_1=0\text{,}$ $x_2=4\text{,}$ $x_3=-2a\text{.}$

Для того чтобы найденные значения переменной действительно являлись корнями уравнения, они должны удовлетворять условию $x^2-4x-8a⩾0\text{.}$ Проверим это условие для каждого корня:

1. Для $x_1=0\text{:}$ $0^2-4\cdot 0-8a⩾0\Rightarrow -8a⩾0\Rightarrow a⩽0\text{.}$
2. Для $x_2=4\text{:}$ $4^2-4\cdot 4-8a⩾0\Rightarrow -8a⩾0\Rightarrow a⩽0\text{.}$
3. Для $x_3=-2a\text{:}$ $(-2a{)}^2-4(-2a)-8a=4a^2+8a-8a=4a^2⩾0\text{.}$ Данное условие выполняется при любом значении $a\text{.}$

Таким образом:

• При $a>0$ единственным корнем уравнения является $x=-2a\text{.}$
• При $a⩽0$ корнями могут быть все три значения. Для того чтобы уравнение имело ровно три различных корня, необходимо выполнение условия $a<0$ (чтобы $x_3\ne x_1$) и чтобы эти корни были попарно различны:

Следовательно, уравнение имеет ровно три различных корня при $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0)\text{.}$

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0)$