Задача №18512

В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH\text{,}$ $BN$ и $CK$ являются высотами. Известно, что $AK=2\text{,}$ $BH=3\text{,}$ а $\angle KNH=60^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что $\angle ABC=60^{\circ }\text{.}$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$

а) Рассмотрим четырёхугольник $AKHC\text{.}$ Заметим, что

$$\angle AKC=90^{\circ }=\angle AHC.$$

То есть равные углы $AKC$ и $AHC$ опираются на сторону $AC\text{.}$ Значит, четырёхугольник $AKHC$ — вписанный. Вписанные углы $KAH$ и $KCH$ опираются на сторону $KH\text{,}$ а значит, эти углы равны:

$$\angle KAH=\angle KCH.$$

Рассмотрим четырёхугольник $AKON$ (где $O$ — точка пересечения высот). Заметим, что

$$\angle AKO+\angle ANO=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }.$$

То есть противоположные углы $AKO$ и $ANO$ четырёхугольника $AKON$ в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Значит, четырёхугольник $AKON$ — вписанный. Вписанные углы $KAO$ и $KNO$ опираются на сторону $KO\text{,}$ а значит, эти углы равны:

$$\angle KAO=\angle KNO.$$

Рассмотрим четырёхугольник $CNOH\text{.}$ Заметим, что

$$\angle CNO+\angle CHO=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }.$$

То есть противоположные углы $CNO$ и $CHO$ четырёхугольника $CNOH$ в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Значит, четырёхугольник $CNOH$ — вписанный. Вписанные углы $OCH$ и $ONH$ опираются на сторону $OH\text{,}$ а значит, эти углы равны:

$$\angle OCH=\angle ONH.$$

Таким образом, получаем:

$$\angle KNO=\angle KAH=\angle KCH=\angle ONH.$$

Так как углы $KNO$ и $ONH$ равны, то $NB$ — биссектриса угла $KNH\text{.}$ Тогда

$$\angle KNB=\frac{\angle KNH}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

Из этого получаем:

$$\angle BAH=\angle KNB=30^{\circ }.$$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника $ABH$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Тогда

$$\angle ABH=90^{\circ }-\angle BAH=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

Таким образом, угол $ABC$ равен $60^{\circ }\text{.}$

б) Из доказанного в пункте а) имеем:

$$\angle BAH=\angle BCK=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ напротив угла в $30^{\circ }$ равен половине гипотенузы $AB\text{.}$ Тогда

$$AB=2BH=2\cdot 3=6.$$

Тогда

$$BK=AB-AK=6-2=4.$$

В прямоугольном треугольнике $BCK$ катет $BK$ напротив угла в $30^{\circ }$ равен половине гипотенузы $BC\text{.}$ Тогда

$$BC=2BK=2\cdot 4=8.$$

По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем:

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ },$$ $$A{C}^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2},$$ $$A{C}^2=36+64-48,$$ $$A{C}^2=52\Rightarrow AC=2\sqrt{13}.$$

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$ По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем:

$$\frac{AC}{\sin 60^{\circ }}=2R,$$ $$\frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R,$$ $$R=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{39}}{3}.$$