В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC , а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C , причём CM = BC и CN = AC . а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны. б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K , а прямые BM и AN — в точке L . Найдите KL , если BC = 1 , а AC = 5 .

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке C и осями, направленными вдоль катетов CA и CB . Пусть AC = a , BC = b . Тогда вершины треугольника имеют координаты: A(a; 0) , B(0; b) , C(0; 0) . По условию точка M лежит на катете AC и CM = BC = b , следовательно, M(b; 0) . Точка N лежит на продолжении катета BC за точку C и CN = AC = a , следовательно, N(0; -a) . Рассмотрим поворот плоскости вокруг начала координат C на угол 90^ по часовой стрелке. Такое преобразование переводит точку с произвольными координатами (x; y) в точку (y; -x) . Заметим, что: 1. Точка A(a; 0) переходит в точку (0; -a) , которая является точкой N . 2. Точка B(0; b) переходит в точку (b; 0) , которая является точкой M . Следовательно, отрезок AB при данном повороте переходит в отрезок NM . Значит, медиана CP треугольника ABC , проведённая к середине AB , при этом повороте переходит в медиану CQ треугольника NCM , проведённую к середине NM . Поскольку угол поворота равен 90^ , прямые CP и CQ перпендикулярны. б) По условию BC = 1 , AC = 5 . Тогда координаты точек: A(5; 0) , B(0; 1) , M(1; 0) , N(0; -5) . Найдём координаты точки K как точки пересечения прямых AB и MN . Уравнение AB : (x)/(5) + (y)/(1) = 1 => y = -(1)/(5)x + 1. Уравнение MN : (x)/(1) + (y)/(-5) = 1 => y = 5x - 5. Приравнивая ординаты: 5x - 5 = -(1)/(5)x + 1 => (26)/(5)x = 6 => x = (15)/(13). Тогда y = 5 * (15)/(13) - 5 = (10)/(13) . Итак, K((15)/(13); (10)/(13)) . Найдём координаты точки L как точки пересечения прямых BM и AN . Уравнение BM : (x)/(1) + (y)/(1) = 1 => y = 1 - x. Уравнение AN : (x)/(5) + (y)/(-5) = 1 => y = x - 5. Приравнивая ординаты: 1 - x = x - 5 => 2x = 6 => x = 3, y = -2. Итак, L(3; -2) . Найдём расстояние KL : KL = sqrt((3 - (15)/(13))^2 + (-2 - (10)/(13))^2) = sqrt(((24)/(13))^2 + (-(36)/(13))^2) = (12)/(13)sqrt(2^2 + (-3)^2) = (12sqrt(13))/(13). Ответ: (12sqrt(13))/(13)

а) доказано б) \( \dfrac{12\sqrt{13}}{13} \)