В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC=1, а AC=5.
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке C и осями, направленными вдоль катетов CA и CB. Пусть AC=a, BC=b. Тогда вершины треугольника имеют координаты: A(a;0), B(0;b), C(0;0).
По условию точка M лежит на катете AC и CM=BC=b, следовательно, M(b;0). Точка N лежит на продолжении катета BC за точку C и CN=AC=a, следовательно, N(0;−a).
Рассмотрим поворот плоскости вокруг начала координат C на угол 90∘ по часовой стрелке. Такое преобразование переводит точку с произвольными координатами (x;y) в точку (y;−x). Заметим, что:
1. Точка A(a;0) переходит в точку (0;−a), которая является точкой N.
2. Точка B(0;b) переходит в точку (b;0), которая является точкой M.
Следовательно, отрезок AB при данном повороте переходит в отрезок NM. Значит, медиана CP треугольника ABC, проведённая к середине AB, при этом повороте переходит в медиану CQ треугольника NCM, проведённую к середине NM. Поскольку угол поворота равен 90∘, прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) По условию BC=1, AC=5. Тогда координаты точек: A(5;0), B(0;1), M(1;0), N(0;−5).
Найдём координаты точки K как точки пересечения прямых AB и MN.
Уравнение AB:
Уравнение MN:
1x+−5y=1⇒y=5x−5.Приравнивая ординаты:
5x−5=−51x+1⇒526x=6⇒x=1315.Тогда y=5⋅1315−5=1310. Итак, K(1315;1310).
Найдём координаты точки L как точки пересечения прямых BM и AN.
Уравнение BM:
Уравнение AN:
5x+−5y=1⇒y=x−5.Приравнивая ординаты:
1−x=x−5⇒2x=6⇒x=3,y=−2.Итак, L(3;−2).
Найдём расстояние KL:
KL=(3−1315)2+(−2−1310)2=(1324)2+(−1336)2=131222+(−3)2=131213.Ответ: 131213
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ