Задача №17276

В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle ABC=60^{\circ }$ проведены высоты $A{A}_1$ и $C{C}_1\text{.}$ Известно, что $AC=12\sqrt{3}\text{,}$ а площадь треугольника $A_{1}B{C}_1$ равна $20\sqrt{3}\text{.}$

а) Докажите, что касательная, проведённая к описанной около треугольника $ABC$ окружности в точке $B\text{,}$ параллельна прямой $A_1{C}_1\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $H{A}_1{C}_1\text{,}$ где $H$ — ортоцентр треугольника $ABC\text{.}$

а) Точки $A_1$ и $C_1$ — основания высот из $A$ и $C\text{.}$ В четырёхугольнике $A{C}_1{A}_{1}C$ углы $\angle A{C}_{1}C=\angle A{A}_{1}C=90^{\circ }$ опираются на отрезок $AC\text{,}$ значит точки $A,C,A_1,C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC\text{.}$

Тогда $\angle B{C}_1{A}_1=\angle BCA$ (по теореме о вписанном угле: $\angle A{C}_1{A}_1$ и $\angle AC{A}_1$ опираются на одну и ту же дугу $A{A}_1\text{;}$ смежные углы в $B$ и $C$ дают равенство).

Касательная $\ell$ к описанной около $ABC$ окружности в точке $B$ образует с хордой $BA$ угол, равный вписанному $\angle BCA$ (по теореме об угле между касательной и хордой).

Таким образом, $\angle (\ell ,BA)=\angle BCA=\angle B{C}_1{A}_1\text{,}$ откуда $\ell \parallel A_1{C}_1\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Шаг 1. Треугольник $A_{1}B{C}_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $|\cos B|=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (известное свойство педального треугольника):

$$S_{A_{1}B{C}_1}={\cos }^{2}B\cdot S_{ABC}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}.$$

Отсюда $S_{ABC}=4\cdot 20\sqrt{3}=80\sqrt{3}\text{.}$

Шаг 2. Так как $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}AB\cdot BC\text{,}$ значит $AB\cdot BC=320\text{.}$

По теореме косинусов $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos 60^{\circ }\text{:}$

$$432=A{B}^2+B{C}^2-320\Rightarrow A{B}^2+B{C}^2=752.$$

Шаг 3. Координатный счёт. Положим $B=(0;0)\text{,}$ $A=(c;0)\text{,}$ где $c=AB\text{,}$ $C=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\text{,}$ где $a=BC\text{,}$ $\angle B=60^{\circ }\text{.}$ Тогда:

1. $A_1$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $BC\text{:}$ параметризуя $BC$ как $\left(\frac{t}{2};\frac{t\sqrt{3}}{2}\right)$ и решая $\overrightarrow{A_{1}A}\perp \overrightarrow{BC}\text{,}$ получаем $t=\frac{c}{2}\text{,}$ $A_1=\left(\frac{c}{4};\frac{c\sqrt{3}}{4}\right)\text{.}$
2. $C_1$ — основание перпендикуляра из $C$ на $AB$ (ось $x$): $C_1=\left(\frac{a}{2};0\right)\text{.}$
3. Высота $A{A}_1$ задаётся параметрически $(c-3s;s\sqrt{3})\text{,}$ высота $C{C}_1$ — прямая $x=\frac{a}{2}\text{.}$ Пересечение даёт $s=\frac{2c-a}{6}\text{,}$ и ортоцентр $H=\left(\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}(2c-a)}{6}\right)\text{.}$

Шаг 4. Площадь $S_{H{A}_1{C}_1}$ по формуле через определитель:

$$S=\frac{1}{2}\left|x_H(y_{A_1}-y_{C_1})+x_{A_1}(y_{C_1}-y_H)+x_{C_1}(y_H-y_{A_1})\right|.$$

Подставляя координаты и упрощая (приводим к общему знаменателю 24), получаем:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{48}\left|5ac-2a^2-2c^2\right|=\frac{\sqrt{3}}{48}\left|2(a^2+c^2)-5ac\right|.$$

Шаг 5. Подставляем известные $a^2+c^2=752\text{,}$ $ac=320\text{:}$

$$2\cdot 752-5\cdot 320=1504-1600=-96.$$ $$S_{H{A}_1{C}_1}=\frac{\sqrt{3}}{48}\cdot 96=2\sqrt{3}.$$

Ответ: $2\sqrt{3}\text{.}$