В остроугольном треугольнике ABC ABC = 60^ проведены высоты AA_1 и CC_1 . Известно, что AC = 12sqrt(3) , а площадь треугольника A_1BC_1 равна 20sqrt(3) . а) Докажите, что касательная, проведённая к описанной около треугольника ABC окружности в точке B , параллельна прямой A_1C_1 . б) Найдите площадь треугольника HA_1C_1 , где H — ортоцентр треугольника ABC .

а) Точки A_1 и C_1 — основания высот из A и C . В четырёхугольнике AC_1A_1C углы AC_1C = AA_1C = 90^ опираются на отрезок AC , значит точки A, C, A_1, C_1 лежат на одной окружности с диаметром AC . Тогда BC_1A_1 = BCA (по теореме о вписанном угле: AC_1A_1 и ACA_1 опираются на одну и ту же дугу AA_1 ; смежные углы в B и C дают равенство). Касательная к описанной около ABC окружности в точке B образует с хордой BA угол, равный вписанному BCA (по теореме об угле между касательной и хордой). Таким образом, (, BA) = BCA = BC_1A_1 , откуда A_1C_1 . Что и требовалось доказать. б) Шаг 1. Треугольник A_1BC_1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом |cos B| = cos 60^ = (1)/(2) (известное свойство педального треугольника): S_(A_1BC_1) = cos^2 B* S_(ABC) = (1)/(4)S_(ABC). Отсюда S_(ABC) = 4* 20sqrt(3) = 80sqrt(3) . Шаг 2. Так как S_(ABC) = (1)/(2)AB* BC* sin 60^ = (sqrt(3))/(4)AB* BC , значит AB* BC = 320 . По теореме косинусов AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB* BCcos 60^ : 432 = AB^2 + BC^2 - 320 => AB^2 + BC^2 = 752. Шаг 3. Координатный счёт. Положим B = (0; 0) , A = (c; 0) , где c = AB , C = ((a)/(2); (asqrt(3))/(2)) , где a = BC , B = 60^ . Тогда: 1. A_1 — основание перпендикуляра из A на прямую BC : параметризуя BC как ((t)/(2); (tsqrt(3))/(2)) и решая A_1A , получаем t = (c)/(2) , A_1 = ((c)/(4); (csqrt(3))/(4)) . 2. C_1 — основание перпендикуляра из C на AB (ось x ): C_1 = ((a)/(2); 0) . 3. Высота AA_1 задаётся параметрически (c - 3s; ssqrt(3)) , высота CC_1 — прямая x = (a)/(2) . Пересечение даёт s = (2c - a)/(6) , и ортоцентр H = ((a)/(2); (sqrt(3)(2c - a))/(6)) . Шаг 4. Площадь S_(HA_1C_1) по формуле через определитель: S = (1)/(2)|x_H(y_(A_1) - y_(C_1)) + x_(A_1)(y_(C_1) - y_H) + x_(C_1)(y_H - y_(A_1))|. Подставляя координаты и упрощая (приводим к общему знаменателю 24), получаем: S = (sqrt(3))/(48)|5ac - 2a^2 - 2c^2| = (sqrt(3))/(48)|2(a^2 + c^2) - 5ac|. Шаг 5. Подставляем известные a^2 + c^2 = 752 , ac = 320 : 2* 752 - 5* 320 = 1504 - 1600 = -96. S_(HA_1C_1) = (sqrt(3))/(48)* 96 = 2sqrt(3). Ответ: 2sqrt(3) .

2√3