В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN . Оказалось, что точки B , C , M и N лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Пусть P — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Найдите площадь четырёхугольника AMPN , если MN:BC = 2:3 , BN = 10 .

Обозначим BC = a , CA = b , AB = c . По свойству биссектрисы из B : (AM)/(MC) = (c)/(a) , поэтому AM = (bc)/(a+c) . По свойству биссектрисы из C : (AN)/(NB) = (b)/(a) , поэтому AN = (bc)/(a+b) . Точки B, N, M, C лежат на одной окружности. Прямые AB и AC из точки A пересекают эту окружность соответственно в N, B и M, C . По теореме о степени точки: AN * AB = AM * AC. (bc)/(a+b) * c = (bc)/(a+c) * b => (c^2)/(a+b) = (b^2)/(a+c). c^2(a+c) = b^2(a+b) => a(c^2 - b^2) + (c^3 - b^3) = 0 => (c-b)[a(b+c) + b^2 + bc + c^2] = 0. Вторая скобка положительна, поэтому c = b , то есть AB = AC . Значит, ABC равнобедренный. Так как b = c , по симметрии NB = MC = (ab)/(a+b) , AN = AM = (b^2)/(a+b) . Треугольники AMN и ABC имеют общий угол A и пропорциональные стороны: (AM)/(AC) = (AN)/(AB) = (b)/(a+b) . По первому признаку подобия AMN ACB с коэффициентом k = (b)/(a+b) . Из условия (MN)/(BC) = (2)/(3) = (b)/(a+b) получаем 3b = 2a + 2b => b = 2a . Из NB = (ab)/(a+b) = (2a^2)/(3a) = (2a)/(3) = 10 находим a = 15 , b = 30 . Итак, BC = 15 , AB = AC = 30 . Введём систему координат. Пусть B = (-7,5;0) , C = (7,5;0) . Высота из A : h = sqrt(30^2 - 7,5^2) = sqrt(843,75) = (15sqrt(15))/(2). Тогда A = (0;(15sqrt(15))/(2)) . Точка M на AC при (AM)/(AC) = (2)/(3) : M = (5;(5sqrt(15))/(2)) . Аналогично N = (-5;(5sqrt(15))/(2)) . Инцентр P (точка пересечения биссектрис): P = (a * A + b * B + c * C)/(a+b+c) = (15 * A + 30 * B + 30 * C)/(75) = (0;(3sqrt(15))/(2)). Площадь четырёхугольника AMPN по формуле «шнурков»: S = (1)/(2) | 5 * ((3sqrt(15))/(2) - (15sqrt(15))/(2)) + (-5) * ((15sqrt(15))/(2) - (3sqrt(15))/(2)) | = (1)/(2) * 60sqrt(15) = 30sqrt(15). Ответ: б) 30sqrt(15)

30√15