Задача №16670

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BM$ и $CN\text{.}$ Оказалось, что точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $M$ и $N$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Найдите площадь четырёхугольника $AMPN\text{,}$ если $MN:BC=2:3\text{,}$ $BN=10\text{.}$

Обозначим $BC=a\text{,}$ $CA=b\text{,}$ $AB=c\text{.}$ По свойству биссектрисы из $B\text{:}$ $\frac{AM}{MC}=\frac{c}{a}\text{,}$ поэтому $AM=\frac{bc}{a+c}\text{.}$ По свойству биссектрисы из $C\text{:}$ $\frac{AN}{NB}=\frac{b}{a}\text{,}$ поэтому $AN=\frac{bc}{a+b}\text{.}$

Точки $B,N,M,C$ лежат на одной окружности. Прямые $AB$ и $AC$ из точки $A$ пересекают эту окружность соответственно в $N,B$ и $M,C\text{.}$ По теореме о степени точки:

$$AN\cdot AB=AM\cdot AC.$$ $$\frac{bc}{a+b}\cdot c=\frac{bc}{a+c}\cdot b\Rightarrow \frac{c^2}{a+b}=\frac{b^2}{a+c}.$$ $$c^2(a+c)=b^2(a+b)\Rightarrow a(c^2-b^2)+(c^3-b^3)=0\Rightarrow (c-b)[a(b+c)+b^2+bc+c^2]=0.$$

Вторая скобка положительна, поэтому $c=b\text{,}$ то есть $AB=AC\text{.}$ Значит, $△ABC$ равнобедренный.

Так как $b=c\text{,}$ по симметрии $NB=MC=\frac{ab}{a+b}\text{,}$ $AN=AM=\frac{b^2}{a+b}\text{.}$

Треугольники $AMN$ и $ABC$ имеют общий угол $A$ и пропорциональные стороны: $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{b}{a+b}\text{.}$ По первому признаку подобия $△AMN\sim △ACB$ с коэффициентом $k=\frac{b}{a+b}\text{.}$

Из условия $\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{b}{a+b}$ получаем $3b=2a+2b\Rightarrow b=2a\text{.}$

Из $NB=\frac{ab}{a+b}=\frac{2a^2}{3a}=\frac{2a}{3}=10$ находим $a=15\text{,}$ $b=30\text{.}$ Итак, $BC=15\text{,}$ $AB=AC=30\text{.}$

Введём систему координат. Пусть $B=(-7,5;0)\text{,}$ $C=(7,5;0)\text{.}$ Высота из $A\text{:}$

$$h=\sqrt{30^2-7,5^2}=\sqrt{843,75}=\frac{15\sqrt{15}}{2}.$$

Тогда $A=\left(0;\frac{15\sqrt{15}}{2}\right)\text{.}$ Точка $M$ на $AC$ при $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}\text{:}$ $M=\left(5;\frac{5\sqrt{15}}{2}\right)\text{.}$ Аналогично $N=\left(-5;\frac{5\sqrt{15}}{2}\right)\text{.}$

Инцентр $P$ (точка пересечения биссектрис):

$$P=\frac{a\cdot A+b\cdot B+c\cdot C}{a+b+c}=\frac{15\cdot A+30\cdot B+30\cdot C}{75}=\left(0;\frac{3\sqrt{15}}{2}\right).$$

Площадь четырёхугольника $AMPN$ по формуле «шнурков»:

$$S=\frac{1}{2}\left|5\cdot \left(\frac{3\sqrt{15}}{2}-\frac{15\sqrt{15}}{2}\right)+(-5)\cdot \left(\frac{15\sqrt{15}}{2}-\frac{3\sqrt{15}}{2}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot 60\sqrt{15}=30\sqrt{15}.$$

Ответ:

б) $30\sqrt{15}$