В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания ABC равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость alpha содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость alpha делит медиану CE основания пирамиды в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости alpha.
а) Построим сечение пирамиды плоскостью alpha. Так как точки M и N лежат в одной грани, то можем их соединить. Тогда MN — сторона сечения. Известно, что плоскость alpha содержит прямую MN, а также перпендикулярна плоскости основания. Значит, плоскость alpha содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания. Опустим высоту SH пирамиды. Так как пирамида правильная, то H — точка пересечения медиан основания. Пусть E — середина ребра AB, проведём SE. Пусть SE пересекает MN в точке L. В плоскости CSE через точку L проведём прямую, параллельную SH. Пусть она пересечёт CE в точке Q. Тогда LQ перпендикулярна основанию пирамиды и LQ CE. Таким образом, для перпендикулярности плоскости основания плоскость alpha должна содержать LQ. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях плоскости alpha, ASB и ABC либо пересекаются в одной точке, либо их прямые пересечения попарно параллельны. Заметим, что прямые MN AB, так как отрезок MN — средняя линия треугольника ASB, параллельная стороне AB. Тогда плоскость alpha пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AB и MN и проходящей через точку Q. Пусть она пересекает AC в точке R, а BC — в точке O. Тогда MNOR — сечение пирамиды плоскостью alpha. Заметим, что по свойству медиан треугольника CH:HE = 2:1. Пусть CH = 4x, HE = 2x. Рассмотрим ESH. Так как L — середина ES, а также LQ SH, то по теореме Фалеса EQ = QH = x. Таким образом, CQ:QE = 5x:x = 5:1. Что и требовалось доказать. б) Так как AB RO, то вместо расстояния от вершины A можно искать расстояние от любой точки на прямой AB до плоскости alpha. Заметим, что EQ RO и QL EQ, тогда длина отрезка EQ и будет искомым расстоянием. Так как в основании пирамиды равносторонний треугольник, то его высота CE может быть вычислена по формуле: CE = (ABsqrt(3))/(2) CE = 15sqrt(3) В силу полученного в пункте а) имеем, что EQ = (CE)/(6), тогда EQ = 2,5sqrt(3).
б) \(2{,}5\sqrt{3}\).