Задача №18509

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна 30, а боковое ребро $SA$ равно 28. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания пирамиды в отношении $5:1\text{,}$ считая от точки $C\text{.}$

б) Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha \text{.}$

а) Построим сечение пирамиды плоскостью $\alpha \text{.}$ Так как точки $M$ и $N$ лежат в одной грани, то можем их соединить. Тогда $MN$ — сторона сечения.

Известно, что плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN\text{,}$ а также перпендикулярна плоскости основания. Значит, плоскость $\alpha$ содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания.

Опустим высоту $SH$ пирамиды. Так как пирамида правильная, то $H$ — точка пересечения медиан основания. Пусть $E$ — середина ребра $AB\text{,}$ проведём $SE\text{.}$ Пусть $SE$ пересекает $MN$ в точке $L\text{.}$ В плоскости $CSE$ через точку $L$ проведём прямую, параллельную $SH\text{.}$ Пусть она пересечёт $CE$ в точке $Q\text{.}$ Тогда $LQ$ перпендикулярна основанию пирамиды и $LQ\perp CE\text{.}$

Таким образом, для перпендикулярности плоскости основания плоскость $\alpha$ должна содержать $LQ\text{.}$

По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях плоскости $\alpha \text{,}$ $ASB$ и $ABC$ либо пересекаются в одной точке, либо их прямые пересечения попарно параллельны. Заметим, что прямые $MN\parallel AB\text{,}$ так как отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ASB\text{,}$ параллельная стороне $AB\text{.}$ Тогда плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания по прямой, параллельной $AB$ и $MN$ и проходящей через точку $Q\text{.}$ Пусть она пересекает $AC$ в точке $R\text{,}$ а $BC$ — в точке $O\text{.}$ Тогда $MNOR$ — сечение пирамиды плоскостью $\alpha \text{.}$

Заметим, что по свойству медиан треугольника $CH:HE=2:1\text{.}$ Пусть $CH=4x\text{,}$ $HE=2x\text{.}$

Рассмотрим $△ESH\text{.}$ Так как $L$ — середина $ES\text{,}$ а также $LQ\parallel SH\text{,}$ то по теореме Фалеса $EQ=QH=x\text{.}$

Таким образом, $CQ:QE=5x:x=5:1\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Так как $AB\parallel RO\text{,}$ то вместо расстояния от вершины $A$ можно искать расстояние от любой точки на прямой $AB$ до плоскости $\alpha \text{.}$ Заметим, что $EQ\perp RO$ и $QL\perp EQ\text{,}$ тогда длина отрезка $EQ$ и будет искомым расстоянием.

Так как в основании пирамиды равносторонний треугольник, то его высота $CE$ может быть вычислена по формуле:

$$CE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$$ $$CE=15\sqrt{3}$$

В силу полученного в пункте а) имеем, что $EQ=\frac{CE}{6}\text{,}$ тогда $EQ=2,5\sqrt{3}\text{.}$