Задача №15184

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9\text{.}$ Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E\text{,}$ а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB\text{.}$

б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q\text{.}$ Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC\text{.}$

а) Проведём прямую $CE$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $M\text{.}$ Так как $AB\parallel CD\text{,}$ то углы $\angle MBE$ и $\angle CDE$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $BD\text{.}$ Углы $\angle BEM$ и $\angle DEC$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $△BME$ и $△DCE$ подобны по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{BM}{CD}=\frac{BE}{ED}.$$

По условию $AB=CD=5\text{,}$ $BD=9\text{,}$ $BE=4\text{,}$ откуда $ED=BD-BE=5\text{.}$ Тогда

$$\frac{BM}{5}=\frac{4}{5}\Rightarrow BM=4.$$

Значит, $AM=AB-BM=5-4=1\text{.}$

На ребре $AS$ дана точка $F$ такая, что $SF=4\text{.}$ Все боковые рёбра пирамиды равны $5\text{,}$ поэтому $SA=5$ и $AF=SA-SF=1\text{.}$ Рассмотрим треугольники $△AMF$ и $△ABS\text{.}$ У них угол $A$ общий, а стороны, прилежащие к нему, пропорциональны:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{5},\frac{AF}{AS}=\frac{1}{5}.$$

Следовательно, $△AMF\sim △ABS$ по двум сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что $\angle AFM=\angle ASB\text{,}$ а потому прямые $FM$ и $SB$ параллельны (соответственные углы при секущей $AS$). Прямая $FM$ лежит в плоскости $CEF$ (так как точки $F$ и $M$ принадлежат этой плоскости), поэтому прямая $SB$ параллельна плоскости $CEF\text{.}$

б) Плоскость $CEF$ пересекает плоскость $SBD$ по прямой $QE$ (точка $E$ лежит на $BD\text{,}$ а точка $Q$ — на $SD$). По доказанному в пункте а) прямая $SB$ параллельна плоскости $CEF\text{,}$ значит, линия пересечения $QE$ параллельна $SB\text{:}$

$$QE\parallel SB.$$

Рассмотрим треугольник $SBD$ ($SB=SD=5\text{,}$ $BD=9$). Из параллельности $QE\parallel SB$ следует подобие треугольников $△DQE\sim △DSB$ (угол $D$ общий, $\angle DQE=\angle DSB$ как соответственные при параллельных прямых). Тогда

$$\frac{DQ}{DS}=\frac{DE}{DB}.$$

Находим $DE=BD-BE=9-4=5\text{,}$ поэтому

$$\frac{DQ}{DS}=\frac{5}{9}.$$

Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей прямоугольника). Поскольку все боковые рёбра равны, высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости $ABC\text{.}$ В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $BD=9\text{,}$ значит, $BO=\frac{1}{2}BD=4.5\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $SOB$ по теореме Пифагора:

$$SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{5^2-(4.5{)}^2}=\sqrt{25-20.25}=\sqrt{4.75}=\sqrt{\frac{19}{4}}=\frac{\sqrt{19}}{2}.$$

Пусть $H$ — проекция точки $Q$ на плоскость $ABC\text{.}$ Так как $SO$ перпендикулярна основанию, то $QH\parallel SO$ и точка $H$ лежит на прямой $DO\text{.}$ Прямоугольные треугольники $△DQH$ и $△DSO$ подобны (общий угол $D$), откуда

$$\frac{QH}{SO}=\frac{DQ}{DS}=\frac{5}{9}.$$

Следовательно,

$$QH=SO\cdot \frac{5}{9}=\frac{\sqrt{19}}{2}\cdot \frac{5}{9}=\frac{5\sqrt{19}}{18}.$$

Ответ: $\frac{5\sqrt{19}}{18}\text{.}$