В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4. а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB. б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

а) Проведём прямую CE до пересечения с прямой AB в точке M. Так как AB CD, то углы MBE и CDE равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей BD. Углы BEM и DEC равны как вертикальные. Следовательно, треугольники BME и DCE подобны по двум углам. Из подобия получаем: (BM)/(CD) = (BE)/(ED). По условию AB = CD = 5, BD = 9, BE = 4, откуда ED = BD - BE = 5. Тогда (BM)/(5) = (4)/(5) => BM = 4. Значит, AM = AB - BM = 5 - 4 = 1. На ребре AS дана точка F такая, что SF = 4. Все боковые рёбра пирамиды равны 5, поэтому SA = 5 и AF = SA - SF = 1. Рассмотрим треугольники AMF и ABS. У них угол A общий, а стороны, прилежащие к нему, пропорциональны: (AM)/(AB) = (1)/(5), (AF)/(AS) = (1)/(5). Следовательно, AMF ABS по двум сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что AFM = ASB, а потому прямые FM и SB параллельны (соответственные углы при секущей AS). Прямая FM лежит в плоскости CEF (так как точки F и M принадлежат этой плоскости), поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF. б) Плоскость CEF пересекает плоскость SBD по прямой QE (точка E лежит на BD, а точка Q — на SD). По доказанному в пункте а) прямая SB параллельна плоскости CEF, значит, линия пересечения QE параллельна SB: QE SB. Рассмотрим треугольник SBD (SB = SD = 5, BD = 9). Из параллельности QE SB следует подобие треугольников DQE DSB (угол D общий, DQE = DSB как соответственные при параллельных прямых). Тогда (DQ)/(DS) = (DE)/(DB). Находим DE = BD - BE = 9 - 4 = 5, поэтому (DQ)/(DS) = (5)/(9). Пусть O — центр основания (точка пересечения диагоналей прямоугольника). Поскольку все боковые рёбра равны, высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости ABC. В прямоугольнике ABCD диагональ BD = 9, значит, BO = (1)/(2) BD = 4.5. Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора: SO = sqrt(SB^2 - OB^2) = sqrt(5^2 - (4.5)^2) = sqrt(25 - 20.25) = sqrt(4.75) = sqrt((19)/(4)) = (sqrt(19))/(2). Пусть H — проекция точки Q на плоскость ABC. Так как SO перпендикулярна основанию, то QH SO и точка H лежит на прямой DO. Прямоугольные треугольники DQH и DSO подобны (общий угол D), откуда (QH)/(SO) = (DQ)/(DS) = (5)/(9). Следовательно, QH = SO*(5)/(9) = (sqrt(19))/(2)*(5)/(9) = (5sqrt(19))/(18). Ответ: (5sqrt(19))/(18).

\(\frac{5\sqrt{19}}{18}\)