Задача №15218

На рёбрах $AC\text{,}$ $AD\text{,}$ $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3\text{.}$ Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM\text{,}$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.

а) Рассмотрим плоскости $ACD$ и $BCD\text{.}$ Их линия пересечения — прямая $CD\text{.}$ Так как $KLMN$ — квадрат, то $KL\parallel NM\text{.}$ Прямая $KL$ лежит в плоскости $ACD\text{,}$ а прямая $NM$ — в плоскости $BCD\text{.}$ Если прямые в двух пересекающихся плоскостях параллельны друг другу, то они параллельны линии пересечения этих плоскостей. Следовательно, $KL\parallel CD\text{.}$

Аналогично, рассматривая плоскости $ABC$ и $ABD$ с линией пересечения $AB\text{,}$ и учитывая, что $KN\parallel LM$ (как стороны квадрата), получаем $KN\parallel AB\text{.}$

Так как $KLMN$ — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны: $KL\perp KN\text{.}$ Поскольку $KL\parallel CD$ и $KN\parallel AB\text{,}$ то и прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) 1. Из подобия треугольников $AKL$ и $ACD$ (так как $KL\parallel CD$) имеем:

$$\frac{KL}{CD}=\frac{AK}{AC}$$

По условию $AK:KC=2:3\text{,}$ значит, $\frac{AK}{AC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\text{.}$ Тогда $\frac{2}{CD}=\frac{2}{5}\text{,}$ откуда $CD=5\text{.}$

2. Из подобия треугольников $CKN$ и $CAB$ (так как $KN\parallel AB$) имеем:

$$\frac{KN}{AB}=\frac{CK}{CA}=\frac{3}{5}$$

Тогда $\frac{2}{AB}=\frac{3}{5}\text{,}$ откуда $AB=\frac{10}{3}\text{.}$

3. Объём тетраэдра выражается формулой через длины противоположных рёбер $a$ и $b\text{,}$ расстояние $d$ между ними и угол $\phi$ между ними:

$$V=\frac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot d\cdot \sin \phi$$

В нашем случае $a=AB=\frac{10}{3}\text{,}$ $b=CD=5\text{,}$ $\phi =90^{\circ }$ (из пункта а), $V=25\text{:}$

$$25=\frac{1}{6}\cdot \frac{10}{3}\cdot 5\cdot d\cdot 1\Rightarrow 25=\frac{25}{9}d\Rightarrow d=9$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равно 9.

4. Плоскость $KLM$ параллельна прямым $AB$ и $CD\text{.}$ Она делит общее перпендикулярное расстояние $d$ между ними в том же отношении, в котором точка $K$ делит ребро $AC\text{.}$ Так как $AK:KC=2:3\text{,}$ плоскость удалена от ребра $AB$ на расстояние $h_1=\frac{2}{5}d\text{,}$ а от ребра $CD$ на расстояние $h_2=\frac{3}{5}d\text{.}$

Искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $KLM$ равно расстоянию от прямой $AB$ до этой плоскости:

$$h_1=\frac{2}{5}\cdot 9=\frac{18}{5}=3,6$$

Ответ: 3,6