На рёбрах AC , AD , BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K , L , M и N соответственно, причём AK : KC = 2 : 3 . Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM , если объём тетраэдра ABCD равен 25.

а) Рассмотрим плоскости ACD и BCD . Их линия пересечения — прямая CD . Так как KLMN — квадрат, то KL NM . Прямая KL лежит в плоскости ACD , а прямая NM — в плоскости BCD . Если прямые в двух пересекающихся плоскостях параллельны друг другу, то они параллельны линии пересечения этих плоскостей. Следовательно, KL CD . Аналогично, рассматривая плоскости ABC и ABD с линией пересечения AB , и учитывая, что KN LM (как стороны квадрата), получаем KN AB . Так как KLMN — квадрат, его смежные стороны перпендикулярны: KL KN . Поскольку KL CD и KN AB , то и прямые AB и CD перпендикулярны. Что и требовалось доказать. б) 1. Из подобия треугольников AKL и ACD (так как KL CD ) имеем: (KL)/(CD) = (AK)/(AC) По условию AK : KC = 2 : 3 , значит, (AK)/(AC) = (2)/(2+3) = (2)/(5) . Тогда (2)/(CD) = (2)/(5) , откуда CD = 5 . 2. Из подобия треугольников CKN и CAB (так как KN AB ) имеем: (KN)/(AB) = (CK)/(CA) = (3)/(5) Тогда (2)/(AB) = (3)/(5) , откуда AB = (10)/(3) . 3. Объём тетраэдра выражается формулой через длины противоположных рёбер a и b , расстояние d между ними и угол между ними: V = (1)/(6) * a * b * d * sin В нашем случае a = AB = (10)/(3) , b = CD = 5 , = 90^ (из пункта а), V = 25 : 25 = (1)/(6) * (10)/(3) * 5 * d * 1 => 25 = (25)/(9) d => d = 9 Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD равно 9. 4. Плоскость KLM параллельна прямым AB и CD . Она делит общее перпендикулярное расстояние d между ними в том же отношении, в котором точка K делит ребро AC . Так как AK : KC = 2 : 3 , плоскость удалена от ребра AB на расстояние h_1 = (2)/(5) d , а от ребра CD на расстояние h_2 = (3)/(5) d . Искомое расстояние от точки B до плоскости KLM равно расстоянию от прямой AB до этой плоскости: h_1 = (2)/(5) * 9 = (18)/(5) = 3,6 Ответ: 3,6

\( \dfrac{18}{5} \)