В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 6sqrt(2). а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM :...

Задача №15200: Стереометрия

а) Так как рёбра $D A, D B$ и $D C$ попарно перпендикулярны, треугольники $A D B, B D C$ и $C D A$ являются прямоугольными. По теореме Пифагора:

A B^{2} = D A^{2} + D B^{2}

B C^{2} = D B^{2} + D C^{2}

A C^{2} = D C^{2} + D A^{2}

По условию $A B = B C = A C = 62,$ следовательно:

D A^{2} + D B^{2} = D B^{2} + D C^{2} = D C^{2} + D A^{2} = 72

Решая эту систему, получаем $D A^{2} = D B^{2} = D C^{2} = 36,$ откуда $D A = D B = D C = 6 .$

Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её вершина $D$ проектируется в центр описанной окружности основания $A B C .$ Так как треугольник $A B C$ — правильный, центр его описанной окружности совпадает с его геометрическим центром. Таким образом, пирамида является правильной по определению.

б) Из условия $D M : M A = D N : N C = 1 : 2$ и найденной длины рёбер $D A = D C = 6$ следует, что $D M = 2$ и $D N = 2 .$

Воспользуемся методом объёмов для нахождения расстояния от точки $D$ до плоскости $M N B .$ Рассмотрим пирамиду $D M N B .$ Её объём $V$ можно вычислить двумя способами.

1. Примем за основание треугольник $D M N .$ Так как $D A ⊥ D C,$ площадь основания:

S_{△ D M N} = \frac{1}{2} \cdot D M \cdot D N = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

Поскольку $D B ⊥ D A$ и $D B ⊥ D C,$ ребро $D B$ перпендикулярно плоскости $D M N$ и является высотой пирамиды. Тогда:

V = \frac{1}{3} S_{△ D M N} \cdot D B = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 6 = 4

2. Примем за основание треугольник $M N B .$ Тогда $V = \frac{1}{3} S_{△ M N B} \cdot h,$ где $h$ — искомое расстояние.

Найдём стороны треугольника $M N B$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $D M B,$ $D N B$ и $D M N :$

M B = D B^{2} + D M^{2} = 36 + 4 = 40 = 210

N B = D B^{2} + D N^{2} = 36 + 4 = 40 = 210

M N = D M^{2} + D N^{2} = 4 + 4 = 8 = 22

Треугольник $M N B$ — равнобедренный. Высота $B H,$ проведённая к основанию $M N :$

B H = M B^{2} - (\frac{M N}{2})^{2} = 40 - 2 = 38

Площадь треугольника $M N B :$

S_{△ M N B} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 38 = 76 = 219

Приравняем значения объёма:

4 = \frac{1}{3} \cdot 219 \cdot h \Rightarrow h = \frac{12}{2 19} = \frac{6}{19} = \frac{6 19}{19}

Ответ: $\frac{6 19}{19}$

A B^{2} = D A^{2} + D B^{2}

B C^{2} = D B^{2} + D C^{2}

A C^{2} = D C^{2} + D A^{2}

По условию $A B = B C = A C = 62,$ следовательно:

D A^{2} + D B^{2} = D B^{2} + D C^{2} = D C^{2} + D A^{2} = 72

Решая эту систему, получаем $D A^{2} = D B^{2} = D C^{2} = 36,$ откуда $D A = D B = D C = 6 .$

б) Из условия $D M : M A = D N : N C = 1 : 2$ и найденной длины рёбер $D A = D C = 6$ следует, что $D M = 2$ и $D N = 2 .$

1. Примем за основание треугольник $D M N .$ Так как $D A ⊥ D C,$ площадь основания:

S_{△ D M N} = \frac{1}{2} \cdot D M \cdot D N = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

Поскольку $D B ⊥ D A$ и $D B ⊥ D C,$ ребро $D B$ перпендикулярно плоскости $D M N$ и является высотой пирамиды. Тогда:

V = \frac{1}{3} S_{△ D M N} \cdot D B = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 6 = 4

2. Примем за основание треугольник $M N B .$ Тогда $V = \frac{1}{3} S_{△ M N B} \cdot h,$ где $h$ — искомое расстояние.

Найдём стороны треугольника $M N B$ по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $D M B,$ $D N B$ и $D M N :$

M B = D B^{2} + D M^{2} = 36 + 4 = 40 = 210

N B = D B^{2} + D N^{2} = 36 + 4 = 40 = 210

M N = D M^{2} + D N^{2} = 4 + 4 = 8 = 22

Треугольник $M N B$ — равнобедренный. Высота $B H,$ проведённая к основанию $M N :$

B H = M B^{2} - (\frac{M N}{2})^{2} = 40 - 2 = 38

Площадь треугольника $M N B :$

S_{△ M N B} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 38 = 76 = 219

Приравняем значения объёма:

4 = \frac{1}{3} \cdot 219 \cdot h \Rightarrow h = \frac{12}{2 19} = \frac{6}{19} = \frac{6 19}{19}

Ответ: $\frac{6 19}{19}$

Задача №15200

Задача #15200

Решай похожие задачи

Информация

Задача №15200

Задача #15200

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15200

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15200

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация