Задача №18478

В ящике лежат 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?

б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?

в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

Введём следующие обозначения: $x$ — количество фруктов с массой меньше 100 г, $z$ — количество фруктов с массой ровно 100 г, $y$ — количество фруктов с массой больше 100 г. По условию общее число фруктов равно $x+y+z=95\text{.}$

Обозначим суммарную массу в граммах всех фруктов за $S\text{.}$ По условию средняя масса всех фруктов равна 100 г, то есть

$$\frac{S}{95}=100\Rightarrow S=9500.$$

Аналогично суммарная масса фруктов, которые весят меньше 100 г, равна $73x\text{;}$ фруктов, которые весят больше 100 г, — $115y\text{;}$ фруктов, которые весят 100 г, — $100z\text{,}$ причём $z=95-x-y\text{.}$ Тогда имеет место равенство:

$$73x+100z+115y=9500$$ $$73x+100\cdot (95-x-y)+115y=9500$$ $$-27x+15y=0$$ $$5y=9x.$$

а) Допустим, такое возможно. Тогда $x=y\text{,}$ причём $5y=9x\text{.}$ Получаем противоречие, так как $x$ и $y$ не могут равняться нулю.

б) Допустим, такое возможно. Тогда

$$0⩽z<10\Rightarrow 0⩽95-x-y<10.$$

Мы уже знаем, что $5y=9x\text{,}$ из этого следует, что $x$ делится на 5. Обозначим $x=5t\text{,}$ где $t⩾0$ — целое число. Тогда $y=9t\text{.}$ Получим:

$$0⩽95-5t-9t<10$$ $$0⩽95-14t<10.$$

Решим первое неравенство:

$$95-14t⩾0$$ $$14t⩽95$$ $$t⩽\frac{95}{14}=6\frac{11}{14}.$$

Так как $t$ — целое число, то $t⩽6\text{.}$

Решим второе неравенство:

$$95-14t<10$$ $$14t>85$$ $$t>\frac{85}{14}=6\frac{1}{14}.$$

Так как $t$ — целое число, то $t⩾7\text{.}$

Таким образом, $7⩽t⩽6\text{.}$ Подходящих значений $t$ не существует, получили противоречие.

в) Пусть $M$ — наибольшая масса в граммах фрукта, очевидно, что этот фрукт находится в группе больших 100 г. Минимальный возможный вес фруктов в этой группе, при том, что один фрукт весит $M\text{,}$ равен $M+101(y-1)\text{.}$ Чтобы пример существовал, эта нижняя граница должна быть не больше, чем заданная в условии сумма масс фруктов в этой группе — $115y\text{.}$ Это необходимое условие, его выполнение не гарантирует существование примера, однако его невыполнение гарантирует, что примера нет. Тогда имеем:

$$M+101(y-1)⩽115y$$ $$M⩽14y+101.$$

Максимальное допустимое $M$ достигается при минимальном допустимом $y\text{.}$ Мы уже знаем, что $5y=9x\text{,}$ из этого следует, что $x$ делится на 5. Обозначим $x=5t\text{,}$ тогда $y=9t\text{.}$ Получаем оценку:

$$95⩾x+y=14t\Rightarrow t⩽6\Rightarrow y⩽54.$$

При $y=54$ максимальное возможное $M=14y+101=857\text{.}$ Пример: 30 фруктов массы 73 г, 11 фруктов массы 100 г, один фрукт массы 857 г, 53 фрукта массы 101 г.

Проверим, что пример подходит.

Средняя масса в граммах всех фруктов:

$$\frac{30\cdot 73+11\cdot 100+53\cdot 101+1\cdot 857}{95}=\frac{9500}{95}=100.$$

Средняя масса в граммах фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г:

$$\frac{30\cdot 73}{30}=73.$$

Средняя масса в граммах фруктов, масса каждого из которых больше 100 г:

$$\frac{53\cdot 101+1\cdot 857}{54}=\frac{6210}{54}=115.$$

Таким образом, пример удовлетворяет условию задачи.