Задача №16036

а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Да. Например, $2006+8=2014\text{.}$ Сумма цифр каждого из слагаемых равна 8 ($2+0+0+6=8$).

б) Нет. Пусть $A$ и $B$ — такие натуральные числа, что $A+B=199$ и их суммы цифр равны: $S(A)=S(B)\text{.}$
При сложении чисел $A$ и $B$ столбиком в каждом разряде сумма цифр не превосходит 18 (так как наибольшая цифра — 9, и $9+9=18$). Чтобы в разряде единиц получилась цифра 9, сумма последних цифр слагаемых должна быть равна 9 (так как 19 получить невозможно). Значит, переноса в разряд десятков нет.
Аналогично, чтобы в разряде десятков получилась цифра 9, сумма соответствующих цифр должна быть равна 9, и переноса в разряд сотен также нет.
Поскольку ни в одном разряде не происходит перехода через десяток, сумма цифр суммы равна сумме цифр слагаемых:

$$S(A+B)=S(A)+S(B)$$

С учётом $A+B=199$ получаем:

$$S(199)=2S(A)$$ $$1+9+9=2S(A)\Rightarrow 19=2S(A)$$

Но это уравнение не имеет решений в целых числах, так как 19 — нечётное число. Противоречие. Значит, представить 199 в таком виде нельзя.

в) Пусть $s$ — сумма цифр каждого из шести выбранных натуральных чисел.
Если $s=5\text{,}$ то наименьшие шесть натуральных чисел с такой суммой цифр: 5, 14, 23, 32, 41, 50. Их сумма равна:

$$5+14+23+32+41+50=165$$

Покажем, что сумму меньше получить нельзя.
Если $s⩾6\text{,}$ то наименьшие шесть чисел с суммой цифр $s$ образуют арифметическую прогрессию: $s,s+9,s+18,s+27,s+36,s+45\text{.}$ (Эти числа не превосходят $9+45=54\text{,}$ поэтому они содержат не более двух разрядов, и сумма их цифр действительно равна $s$).
Сумма этих шести чисел равна $6s+135\text{.}$ Так как $s⩾6\text{,}$ эта сумма будет не меньше:

$$6\cdot 6+135=171>165$$

Если же $s<5\text{,}$ то количество однозначных и двузначных чисел с суммой цифр $s$ равно $s+1$ (это числа, у которых цифра десятков принимает значения от 0 до $s$). Поскольку $s<5\text{,}$ таких чисел меньше шести. Значит, шестое по величине число неизбежно будет как минимум трёхзначным (больше 100), что сильно увеличит общую сумму:

• При $s=4$ наименьшие шесть чисел: 4, 13, 22, 31, 40, 103. Их сумма: $213>165\text{.}$
• При $s=3$ наименьшие шесть чисел: 3, 12, 21, 30, 102, 111. Их сумма: $279>165\text{.}$
• При $s=2$ наименьшие шесть чисел: 2, 11, 20, 101, 110, 200. Их сумма: $444>165\text{.}$
• При $s=1$ наименьшие шесть чисел: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. Их сумма: $111111>165\text{.}$
  Таким образом, минимальная возможная сумма равна 165.