а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Да. Например, 2006 + 8 = 2014 . Сумма цифр каждого из слагаемых равна 8 ( 2+0+0+6 = 8 ). б) Нет. Пусть A и B — такие натуральные числа, что A + B = 199 и их суммы цифр равны: S(A) = S(B) . При сложении чисел A и B столбиком в каждом разряде сумма цифр не превосходит 18 (так как наибольшая цифра — 9, и 9+9=18 ). Чтобы в разряде единиц получилась цифра 9, сумма последних цифр слагаемых должна быть равна 9 (так как 19 получить невозможно). Значит, переноса в разряд десятков нет. Аналогично, чтобы в разряде десятков получилась цифра 9, сумма соответствующих цифр должна быть равна 9, и переноса в разряд сотен также нет. Поскольку ни в одном разряде не происходит перехода через десяток, сумма цифр суммы равна сумме цифр слагаемых: S(A+B) = S(A) + S(B) С учётом A+B = 199 получаем: S(199) = 2S(A) 1+9+9 = 2S(A) => 19 = 2S(A) Но это уравнение не имеет решений в целых числах, так как 19 — нечётное число. Противоречие. Значит, представить 199 в таком виде нельзя. в) Пусть s — сумма цифр каждого из шести выбранных натуральных чисел. Если s = 5 , то наименьшие шесть натуральных чисел с такой суммой цифр: 5, 14, 23, 32, 41, 50. Их сумма равна: 5 + 14 + 23 + 32 + 41 + 50 = 165 Покажем, что сумму меньше получить нельзя. Если s 6 , то наименьшие шесть чисел с суммой цифр s образуют арифметическую прогрессию: s, s+9, s+18, s+27, s+36, s+45 . (Эти числа не превосходят 9+45=54 , поэтому они содержат не более двух разрядов, и сумма их цифр действительно равна s ). Сумма этих шести чисел равна 6s + 135 . Так как s 6 , эта сумма будет не меньше: 6 * 6 + 135 = 171 > 165 Если же s < 5 , то количество однозначных и двузначных чисел с суммой цифр s равно s+1 (это числа, у которых цифра десятков принимает значения от 0 до s ). Поскольку s < 5 , таких чисел меньше шести. Значит, шестое по величине число неизбежно будет как минимум трёхзначным (больше 100), что сильно увеличит общую сумму: - При s = 4 наименьшие шесть чисел: 4, 13, 22, 31, 40, 103. Их сумма: 213 > 165 . - При s = 3 наименьшие шесть чисел: 3, 12, 21, 30, 102, 111. Их сумма: 279 > 165 . - При s = 2 наименьшие шесть чисел: 2, 11, 20, 101, 110, 200. Их сумма: 444 > 165 . - При s = 1 наименьшие шесть чисел: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. Их сумма: 111111 > 165 . Таким образом, минимальная возможная сумма равна 165.
а) Да б) Нет в) 165