Задача №16029

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.

а) Да. Например, $2034+9=2043\text{.}$ Сумма цифр каждого из слагаемых одинакова и равна $9\text{.}$ (Также подходят числа $1026$ и $1017\text{,}$ сумма цифр каждого равна $9$).

б) Нет. Пусть $A+B=599\text{,}$ причём сумма цифр числа $A$ равна сумме цифр числа $B\text{.}$
При сложении $A$ и $B$ столбиком последняя цифра суммы равна $9\text{.}$ Это означает, что сумма последних цифр (разряд единиц) чисел $A$ и $B$ оканчивается на $9\text{.}$ Так как наибольшая возможная цифра — $9\text{,}$ сумма двух цифр не может превышать $18\text{.}$ Значит, сумма последних цифр в точности равна $9\text{,}$ и переноса в разряд десятков нет.
Аналогично, цифра десятков суммы равна $9\text{,}$ а переноса из единиц нет, поэтому сумма цифр десятков чисел $A$ и $B$ также равна $9$ (переноса в разряд сотен нет).
Цифра сотен суммы равна $5\text{,}$ и так как переноса из десятков нет, сумма цифр сотен равна $5\text{.}$
Значит, при сложении чисел $A$ и $B$ не происходит ни одного переноса. Следовательно, общая сумма всех цифр чисел $A$ и $B$ равна сумме цифр числа $599\text{,}$ то есть $5+9+9=23\text{.}$
С другой стороны, так как суммы цифр чисел $A$ и $B$ равны между собой, общая сумма их цифр должна быть чётной.
Мы получили нечётную сумму цифр $23\text{,}$ что невозможно. Следовательно, представить число $599$ в требуемом виде нельзя.

в) Пусть $S$ — одинаковая сумма цифр семи различных натуральных чисел. Найдём минимальную возможную сумму семи чисел для различных значений $S\text{.}$ Для этого нужно для каждого $S$ выбрать семь наименьших натуральных чисел с суммой цифр $S\text{.}$

• При $S=1\text{:}$ числа $1,10,100,1000,10000,100000,1000000\text{.}$ Их сумма равна $1111111\text{.}$
• При $S=2\text{:}$ числа $2,11,20,101,110,200,1001\text{.}$ Их сумма равна $1445\text{.}$
• При $S=3\text{:}$ числа $3,12,21,30,102,111,120\text{.}$ Их сумма равна $399\text{.}$
• При $S=4\text{:}$ числа $4,13,22,31,40,103,112\text{.}$ Их сумма равна $325\text{.}$
• При $S=5\text{:}$ числа $5,14,23,32,41,50,104\text{.}$ Их сумма равна $269\text{.}$
• При $S=6\text{:}$ числа $6,15,24,33,42,51,60\text{.}$ Их сумма равна $6+15+24+33+42+51+60=231\text{.}$

При $S⩾6$ существует по крайней мере семь чисел, не превосходящих двузначных, с суммой цифр $S\text{.}$ Это числа $S,S+9,S+18,S+27,S+36,S+45,S+54\text{.}$
Сумма этих семи наименьших чисел равна:

$$S+(S+9)+(S+18)+\cdots +(S+54)=7S+9\cdot (1+2+3+4+5+6)=7S+189$$

Поскольку функция $f(S)=7S+189$ строго возрастает с ростом $S\text{,}$ для любого $S>6$ минимальная сумма будет строго больше, чем при $S=6$ (например, при $S=7$ сумма будет $7\cdot 7+189=238$).
Таким образом, наименьшее число равно $231\text{.}$