а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
а) Да. Например, 2034 + 9 = 2043 . Сумма цифр каждого из слагаемых одинакова и равна 9 . (Также подходят числа 1026 и 1017 , сумма цифр каждого равна 9 ). б) Нет. Пусть A + B = 599 , причём сумма цифр числа A равна сумме цифр числа B . При сложении A и B столбиком последняя цифра суммы равна 9 . Это означает, что сумма последних цифр (разряд единиц) чисел A и B оканчивается на 9 . Так как наибольшая возможная цифра — 9 , сумма двух цифр не может превышать 18 . Значит, сумма последних цифр в точности равна 9 , и переноса в разряд десятков нет. Аналогично, цифра десятков суммы равна 9 , а переноса из единиц нет, поэтому сумма цифр десятков чисел A и B также равна 9 (переноса в разряд сотен нет). Цифра сотен суммы равна 5 , и так как переноса из десятков нет, сумма цифр сотен равна 5 . Значит, при сложении чисел A и B не происходит ни одного переноса. Следовательно, общая сумма всех цифр чисел A и B равна сумме цифр числа 599 , то есть 5 + 9 + 9 = 23 . С другой стороны, так как суммы цифр чисел A и B равны между собой, общая сумма их цифр должна быть чётной. Мы получили нечётную сумму цифр 23 , что невозможно. Следовательно, представить число 599 в требуемом виде нельзя. в) Пусть S — одинаковая сумма цифр семи различных натуральных чисел. Найдём минимальную возможную сумму семи чисел для различных значений S . Для этого нужно для каждого S выбрать семь наименьших натуральных чисел с суммой цифр S . - При S = 1 : числа 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 . Их сумма равна 1111111 . - При S = 2 : числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001 . Их сумма равна 1445 . - При S = 3 : числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120 . Их сумма равна 399 . - При S = 4 : числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112 . Их сумма равна 325 . - При S = 5 : числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104 . Их сумма равна 269 . - При S = 6 : числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60 . Их сумма равна 6 + 15 + 24 + 33 + 42 + 51 + 60 = 231 . При S 6 существует по крайней мере семь чисел, не превосходящих двузначных, с суммой цифр S . Это числа S, S+9, S+18, S+27, S+36, S+45, S+54 . Сумма этих семи наименьших чисел равна: S + (S+9) + (S+18) + + (S+54) = 7S + 9 * (1+2+3+4+5+6) = 7S + 189 Поскольку функция f(S) = 7S + 189 строго возрастает с ростом S , для любого S > 6 минимальная сумма будет строго больше, чем при S = 6 (например, при S=7 сумма будет 7 * 7 + 189 = 238 ). Таким образом, наименьшее число равно 231 .
а) Да б) Нет в) 231