Задача №17417

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-36\text{.}$ При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 3, а на всех красных — чётные числа. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 50?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Пусть $B$ — количество синих карт, $R$ — количество красных. Наибольшее красное число равно $2B$ (чётное), наибольшее синее равно $R$ (делится на 3).

а) Пример: одна синяя карта с числом $3$ (тогда $R=3$) и три красные с числами $2,0,-2$ (чётные, наибольшее $2=2\cdot 1$). Все условия выполнены, поэтому да.

б) Синие — $B$ различных кратных 3 из $(-36;R]\text{;}$ их не больше $\frac{R+33}{3}+1=\frac{R}{3}+12\text{,}$ поэтому $50⩽\frac{R}{3}+12\Rightarrow R⩾114\text{.}$ Наибольшее красное $2\cdot 50=100\text{;}$ красные — $R$ различных чётных из $(-36;100]\text{,}$ их не больше $\frac{100+34}{2}+1=68\text{,}$ поэтому $R⩽68\text{.}$ Противоречие. Нет.

в) $B⩽\frac{R}{3}+12$ и $R⩽B+18$ (чётных из $(-36;2B]$ не больше $\frac{2B+34}{2}+1=B+18$). Тогда $B⩽\frac{B+18}{3}+12=\frac{B}{3}+18\Rightarrow \frac{2}{3}B⩽18\Rightarrow B⩽27\text{.}$ Достижимо при $B=27\text{:}$ $R=45\text{;}$ синие — все 27 кратных 3 от $-33$ до $45$ (наибольшее $45=R$), красные — все 45 чётных от $-34$ до $54$ (наибольшее $54=2\cdot 27$).
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 27.