Задача №18474

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца в размере $S$ рублей (где $S$ — целое число). Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть суммы кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наименьшее значение $r\text{,}$ при котором сумма всех платежей будет превышать сумму кредита больше чем на 25%.

Пусть $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Долг после начисления %» и «Долг после выплаты» за этот месяц:

Сумма всех платежей равна:

$$\sum =(Sk-0,8S)+(0,8Sk-0,6S)+(0,6Sk-0,4S)+0,4Sk=$$ $$=Sk(1+0,8+0,6+0,4)-S(0,8+0,6+0,4)=2,8Sk-1,8S.$$

По условию сумма всех платежей превышает сумму кредита больше чем на 25%. Тогда

$$2,8Sk-1,8S>1,25S$$ $$280Sk-180S>125S\mid :S>0$$ $$280k-180>125$$ $$280k>305$$ $$k>\frac{305}{280}.$$

Сделаем обратную замену и получим:

$$1+\frac{r}{100}>\frac{305}{280}$$ $$\frac{r}{100}>\frac{25}{280}$$ $$r>\frac{125}{14}$$ $$r>8\frac{13}{14}.$$

По условию $r$ — целое число. Наименьшее подходящее целое $r$ равно $9\text{.}$