Задача №16836

15 января планируется взять кредит в банке на срок 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться по следующему принципу:
• в первые 3 месяца долг сокращается на $X$ рублей каждый месяц,
• в следующие 3 месяца — на $2X$ рублей каждый месяц,
• в последние 3 месяца — на $3X$ рублей каждый месяц,
• до 14-го октября долг должен быть погашен полностью.

Известно, что общая сумма выплат превышает взятую сумму на 60%. Найдите $r\text{.}$

Все расчёты ведём в рублях. Из условия задачи общая сумма погашения основного долга составляет

$$3X+3\cdot 2X+3\cdot 3X=3(X+2X+3X)=18X.$$

Ежемесячные «надбавки» (проценты от текущего долга на 1-е число) пропорциональны остатку долга после предыдущего погашения. Если в конце $k$-го месяца долг составляет $S_k\text{,}$ то на 1-е число $(k+1)$-го месяца долг становится $S_k(1+r/100)\text{,}$ и заёмщик за месяц переплачивает $S_k\cdot r/100$ сверх погашения.

Долг на конец каждого месяца (в долях от $X$):

• конец 1 мес.: $18X-X=17X\text{;}$
• конец 2 мес.: $16X\text{;}$
• конец 3 мес.: $15X\text{;}$
• конец 4 мес.: $13X\text{;}$
• конец 5 мес.: $11X\text{;}$
• конец 6 мес.: $9X\text{;}$
• конец 7 мес.: $6X\text{;}$
• конец 8 мес.: $3X\text{;}$
• конец 9 мес.: $0\text{.}$

Переплаты по месяцам выплат (1–9) считаются от долга на 1-е число каждого платёжного месяца (то есть от долга в конце предыдущего). Сумма всех переплат в долях $Xr\text{:}$

$$0,18Xr+0,17Xr+0,16Xr+0,15Xr+0,13Xr+0,11Xr+0,09Xr+0,06Xr+0,03Xr=$$ $$=(0,51+0,39+0,18)\cdot Xr=1,08\cdot Xr.$$

Общая сумма выплат: $18X+1,08Xr\text{.}$ По условию она превышает взятую сумму $18X$ на 60%:

$$18X+1,08Xr=1,6\cdot 18X\iff 1,08r=28,8-18=10,8\iff r=10.$$

Ответ: 10.