Задача №15427

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

Пусть первые 5 лет долг уменьшается ежегодно на $d_1$ тыс. рублей, вторые 5 лет — на $d_2$ тыс. рублей. Тогда

[
5d_1 + 5d_2 = 500\Rightarrow
d_1 + d_2 = 100.
]

Долги на июль каждого года:

[
D_0 = 500, \quad D_1 = 500 - d_1, \quad\dots, \quad D_5 = 500 - 5d_1, \quad D_6 = 500 - 5d_1 - d_2, \quad\dots, \quad D_9 = 500 - 5d_1 - 4d_2.
]

Сумма всех выплат (коэффициент увеличения $k=1.3$):

[
500 + 0.3\cdot\sum_{t=0}^{9} D_t = 1250\Rightarrow\sum_{t=0}^{9} D_t = 2500.
]

Вычисляем сумму:

[
\sum_{t=0}^{9} D_t = 5000 - 35d_1 - 10d_2.
]

Подставляем:

[
5000 - 35d_1 - 10d_2 = 2500\Rightarrow
7d_1 + 2d_2 = 500.
]

Решаем систему:

[
\begin{cases}
\displaystyle d_1 + d_2 = 100, \
\displaystyle 7d_1 + 2d_2 = 500,
\end{cases}
\Rightarrow
d_1 = 60, \quad d_2 = 40.
]

Платёж в 2035 году (10-й го

д): долг на июль 2034 $D_9=500-5\cdot 60-4\cdot 40=40\text{.}$ В январе 2035 долг $40\cdot 1.3=52\text{,}$ выплата равна $52$ тыс. рублей.

Ответ: 52000 рублей.