Задача №16831

15 февраля 2027 года планируется взять кредит на срок 60 месяцев. Условия выплаты кредита следующие:

– 1-го числа каждого месяца на оставшуюся сумму долга начисляются проценты в размере $5\%$ от оставшейся суммы долга;

– с 1-го по 15-е число каждого месяца должна быть произведена выплата;

– каждый следующий месяц плата по долгам должна быть на одну и ту же сумму меньше предыдущей;

– к концу срока кредит должен быть полностью выплачен.

Известно, что общая сумма выплат за последний год составила $3180$ тыс. рублей. Найдите размер кредита (в млн рублей).

Пусть $S$ — размер кредита (в млн руб.), $A=\frac{S}{60}$ — постоянная часть основного долга, выплачиваемая ежемесячно (так как разности платежей одинаковы и общий «амортизационный» долг $S$ выплачивается за 60 месяцев).

1. После $k$-й выплаты остаток основного долга равен $S-kA\text{.}$ Проценты $k$-го месяца начисляются на остаток после $(k-1)$-й выплаты: $0,05(S-(k-1)A)\text{.}$

2. За пятый год (месяцы 49–60) проценты образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_{49}=0,05(S-48A)$ и последним $a_{60}=0,05(S-59A)\text{.}$ Сумма процентов за последние 12 месяцев:

$${\Sigma }_{\text{пр}}=\frac{a_{49}+a_{60}}{2}\cdot 12=6\cdot 0,05((S-48A)+(S-59A))=0,3(2S-107A).$$

3. Подставим $A=\frac{S}{60}\text{:}$

$${\Sigma }_{\text{пр}}=0,3\cdot \frac{120S-107S}{60}=0,3\cdot \frac{13S}{60}=\frac{13S}{200}.$$

4. Выплаты основного долга за пятый год:

$$12A=\frac{12S}{60}=\frac{S}{5}=\frac{40S}{200}.$$

5. Общая сумма выплат за последний год составляет $3180$ тыс. рублей, что равно $3,18$ млн рублей:

$$\frac{13S}{200}+\frac{40S}{200}=\frac{53S}{200}=3,18.$$

6. Решим уравнение:

$$53S=200\cdot 3,18\Rightarrow 53S=636\Rightarrow S=12.$$

Размер кредита составляет 12 млн рублей.

Ответ: 12.