15 февраля 2027 года планируется взять кредит на срок 60 месяцев. Условия выплаты кредита следующие: – 1-го числа каждого месяца на оставшуюся сумму долга начисляются проценты в размере 5% от оставшейся суммы долга; – с 1-го по 15-е число каждого месяца должна быть произведена выплата; – каждый следующий месяц плата по долгам должна быть на одну и ту же сумму меньше предыдущей; – к концу срока кредит должен быть полностью выплачен. Известно, что общая сумма выплат за последний год составила 3180 тыс. рублей. Найдите размер кредита (в млн рублей).

Пусть S — размер кредита (в млн руб.), A = (S)/(60) — постоянная часть основного долга, выплачиваемая ежемесячно (так как разности платежей одинаковы и общий «амортизационный» долг S выплачивается за 60 месяцев). 1. После k -й выплаты остаток основного долга равен S - kA . Проценты k -го месяца начисляются на остаток после (k-1) -й выплаты: 0,05(S - (k - 1)A) . 2. За пятый год (месяцы 49–60) проценты образуют арифметическую прогрессию с первым членом a_(49) = 0,05(S - 48A) и последним a_(60) = 0,05(S - 59A) . Сумма процентов за последние 12 месяцев: _(пр) = (a_(49) + a_(60))/(2) * 12 = 6 * 0,05((S - 48A) + (S - 59A)) = 0,3(2S - 107A). 3. Подставим A = (S)/(60) : _(пр) = 0,3 * (120S - 107S)/(60) = 0,3 * (13S)/(60) = (13S)/(200). 4. Выплаты основного долга за пятый год: 12A = (12S)/(60) = (S)/(5) = (40S)/(200). 5. Общая сумма выплат за последний год составляет 3180 тыс. рублей, что равно 3,18 млн рублей: (13S)/(200) + (40S)/(200) = (53S)/(200) = 3,18. 6. Решим уравнение: 53S = 200 * 3,18 => 53S = 636 => S = 12. Размер кредита составляет 12 млн рублей. Ответ: 12.

$12$