1 июня 2026 года Николай положил в банк некоторую сумму под 25% годовых сроком на 3 года. По условиям вклада: каждый год 30 июня банк начисляет на остаток вклада 25%; сразу после начисления процентов Николай снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму. После третьего такого снятия (через 3 года) на счёте не остаётся денег. Найдите первоначальную сумму вклада Николая, если известно, что в общей сложности он снял со счёта на 4585000 рублей больше, чем изначально вложил.

Пусть S — первоначальная сумма вклада (в рублях), а X — фиксированная сумма, которую Николай снимает каждый год после начисления процентов. Коэффициент начисления процентов за год равен 1 + (25)/(100) = (5)/(4). Проследим за остатком на счёте по годам. После начисления процентов и снятия суммы X: через 1 год остаток равен S*(5)/(4) - X; через 2 года остаток равен (S*(5)/(4) - X)*(5)/(4) - X = S*(25)/(16) - X*(5)/(4) - X; через 3 года остаток равен (S*(25)/(16) - X*(5)/(4) - X)*(5)/(4) - X = S*(125)/(64) - X((25)/(16) + (5)/(4) + 1). По условию через 3 года на счёте не осталось денег, поэтому S*(125)/(64) - X((25)/(16) + (5)/(4) + 1) = 0. Посчитаем сумму в скобках: (25)/(16) + (5)/(4) + 1 = (25)/(16) + (20)/(16) + (16)/(16) = (61)/(16). Тогда S*(125)/(64) = X*(61)/(16), откуда S = X*(61)/(16)*(64)/(125) = X*(61* 4)/(125) = (244)/(125)X. Всего за 3 года Николай снял 3X рублей. По условию это на 4585000 рублей больше первоначального вклада: 3X - S = 4585000. Подставим S = (244)/(125)X: 3X - (244)/(125)X = 4585000. Приведём к общему знаменателю: (375)/(125)X - (244)/(125)X = (131)/(125)X = 4585000, X = 4585000*(125)/(131) = 35000* 125 = 4375000. Тогда первоначальная сумма S = (244)/(125)* 4375000 = 244* 35000 = 8540000. Проверка. При S = 8540000 и X = 4375000 остаток меняется так: 8540000*(5)/(4) - 4375000 = 10675000 - 4375000 = 6300000; 6300000*(5)/(4) - 4375000 = 7875000 - 4375000 = 3500000; 3500000*(5)/(4) - 4375000 = 4375000 - 4375000 = 0. Счёт обнулился ровно через 3 года, все промежуточные остатки положительны. Общая снятая сумма 3* 4375000 = 13125000, и 13125000 - 8540000 = 4585000 — условие выполнено. Ответ: 8540000 рублей.

\(8\,540\,000\) рублей