1 июня 2026 года Николай положил в банк некоторую сумму под 25% годовых сроком на 3 года. По условиям вклада: каждый год 30 июня банк начисляет на остаток вклада 25%; сразу после начисления процентов Николай снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму. После третьего такого снятия (через 3 года) на счёте не остаётся денег. Найдите первоначальную сумму вклада Николая, если известно, что в общей сложности он снял со счёта на 4585000 рублей больше, чем изначально вложил.
Пусть S — первоначальная сумма вклада (в рублях), а X — фиксированная сумма, которую Николай снимает каждый год после начисления процентов.
Коэффициент начисления процентов за год равен
1+10025=45.Проследим за остатком на счёте по годам. После начисления процентов и снятия суммы X:
через 1 год остаток равен
S⋅45−X;через 2 года остаток равен
(S⋅45−X)⋅45−X=S⋅1625−X⋅45−X;через 3 года остаток равен
(S⋅1625−X⋅45−X)⋅45−X=S⋅64125−X(1625+45+1).По условию через 3 года на счёте не осталось денег, поэтому
S⋅64125−X(1625+45+1)=0.Посчитаем сумму в скобках:
1625+45+1=1625+1620+1616=1661.Тогда
S⋅64125=X⋅1661,откудаS=X⋅1661⋅12564=X⋅12561⋅4=125244X.Всего за 3 года Николай снял 3X рублей. По условию это на 4585000 рублей больше первоначального вклада:
3X−S=4585000.Подставим S=125244X:
3X−125244X=4585000.Приведём к общему знаменателю:
125375X−125244X=125131X=4585000, X=4585000⋅131125=35000⋅125=4375000.Тогда первоначальная сумма
S=125244⋅4375000=244⋅35000=8540000.Проверка. При S=8540000 и X=4375000 остаток меняется так:
8540000⋅45−4375000=10675000−4375000=6300000; 6300000⋅45−4375000=7875000−4375000=3500000; 3500000⋅45−4375000=4375000−4375000=0.Счёт обнулился ровно через 3 года, все промежуточные остатки положительны. Общая снятая сумма 3⋅4375000=13125000, и 13125000−8540000=4585000 — условие выполнено.
Ответ: 8540000 рублей.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения