Задача №15433

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1100$ тысяч рублей на $31$ месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $2\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1503$ тысячи рублей?

Сумма кредита $S=1100$ тыс. руб., срок $31$ месяц, ставка $2\%$ в месяц.

Пусть ежемесячное уменьшение долга (с 1-го по 30-й месяц) равно $x\text{.}$

Остаток долга на 15-е число месяца $k\text{:}$ $D_k=1100-kx\text{,}$ $k=0,\dots ,30\text{.}$

В 31-м месяце долг после начисления процентов и выплаты становится $0\text{.}$

Общая сумма выплат: $1503$ тыс. руб., из них сумма основного долга $1100$ тыс., значит проценты: $1503-1100=403$ тыс.

Проценты в месяце $k$ начисляются на $D_{k-1}\text{.}$ Сумма процентов:

$$0.02\cdot (D_0+D_1+\cdots +D_{29}+D_{30})$$

Сумма остатков:

$$\sum _{k=0}^{30}{D}_k=31\cdot 1100-x\cdot (0+1+\cdots +30)=34100-x\cdot \frac{30\cdot 31}{2}=34100-465x$$

Уравнение:

$$0.02\cdot (34100-465x)=403$$ $$34100-465x=\frac{403}{0.02}=20150$$ $$465x=34100-20150=13950$$ $$x=\frac{13950}{465}=30$$

Долг на 15-е число 30-го месяца: $D_{30}=1100-30\cdot 30=200\text{.}$

Ответ: $200$ тыс. руб.