Задача №15428

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Пусть кредит взят на $n$ лет. Сумма кредита $S=5$ млн руб.

Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{n}=\frac{5}{n}\text{.}$

Долг на июль после $k$ лет: $5-\frac{5k}{n}\text{.}$

В январе $k$-го года долг перед выплатой: $1,2\left(5-\frac{5(k-1)}{n}\right)=6-\frac{6(k-1)}{n}\text{.}$

Выплата в $k$-м году: проценты $\frac{1}{5}\left(5-\frac{5(k-1)}{n}\right)=1-\frac{k-1}{n}$ плюс часть основного долга $\frac{5}{n}\text{,}$ итого: $1+\frac{6-k}{n}\text{.}$

Общая сумма выплат:

$$\sum _{k=1}^n\left(1+\frac{6-k}{n}\right)=n+\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(6-k)=n+\frac{1}{n}\left(6n-\frac{n(n+1)}{2}\right)=n+6-\frac{n+1}{2}=\frac{n}{2}+\frac{11}{2}.$$

Уравнение:

$$\frac{n}{2}+\frac{11}{2}=7,5.$$

Умножаем на 2:

$$n+11=15\Rightarrow n=4.$$

Ответ: 4 года.