Задача №18320

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260 000 рублей, а во второй год — 169 000 рублей.

Пусть $p=1+\frac{r}{100}\text{.}$ Составим таблицу выплат (все суммы будем указывать в тыс. рублей).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \displaystyle \hline \text{Год} & \text{Долг до }\% & \text{Долг после }\% & \text{Платёж} & \text{Долг после платежа} \\ \displaystyle \hline 1 & 300 & 300p & 260 & 300p - 260 \\ \displaystyle \hline 2 & 300p - 260 & (300p - 260)\,p & 169 & 0 \\ \displaystyle \hline \end{array}

Из последней строчки получаем уравнение:

$$(300p-260)p=169,$$ $$300p^2-260p-169=0.$$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

$$\frac{D}{4}=130^2+300\cdot 169=16900+50700=67600=13^2\cdot 20^2,$$ $$\sqrt{\frac{D}{4}}=13\cdot 20=260.$$

Тогда

$$p_{1,2}=\frac{130\pm 260}{300},$$ $$p_1=\frac{390}{300}=\frac{13}{10},p_2=\frac{-130}{300}<0.$$

Так как $p>0\text{,}$ подходит только $p=\frac{13}{10}\text{.}$ Отсюда получаем:

$$1+\frac{r}{100}=\frac{13}{10},$$ $$\frac{r}{100}=\frac{3}{10},$$ $$r=30.$$