Задача №18312

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $AM=3M{A}_1\text{,}$ $A_{1}K=K{B}_1\text{.}$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1\text{.}$

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $\alpha \text{,}$ если все рёбра призмы равны 16.

а) Так как призма правильная, то $A_1{B}_1{C}_1$ — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана $C_{1}K$ является также и высотой треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{.}$ Отсюда $K{C}_1\perp A_1{B}_1\text{.}$

Также так как призма правильная, то $K{C}_1\perp A{A}_1\text{.}$

Получили, что $K{C}_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости $(AB{B}_1)\text{,}$ следовательно, $K{C}_1\perp (AB{B}_1)\text{.}$

Так как $\alpha \perp (AB{B}_1)\text{,}$ $K\in \alpha$ и $K{C}_1\perp (AB{B}_1)\text{,}$ то $K{C}_1\subset \alpha \text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Так как все рёбра призмы равны 16, то $M{A}_1=4\text{,}$ $AM=12\text{,}$ $A_{1}K=K{B}_1=8\text{.}$

Пусть $h$ — искомое расстояние от $A_1$ до плоскости $\alpha \text{.}$

Применим метод объёмов. Распишем объём пирамиды $C_1{A}_{1}KM$ двумя способами:

$$\frac{1}{3}\cdot C_{1}K\cdot S_{A_{1}MK}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_{C_{1}MK},$$ $$h=C_{1}K\cdot \frac{S_{A_{1}MK}}{S_{C_{1}MK}}.$$

Высота равностороннего треугольника со стороной 16: $C_{1}K=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\text{.}$

Треугольник $A_{1}MK$ прямоугольный ($M{A}_1\perp A_{1}K$): $S_{A_{1}MK}=\frac{1}{2}\cdot M{A}_1\cdot A_{1}K=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16\text{.}$

Так как $C_{1}K\perp (AB{B}_1)\text{,}$ то $C_{1}K\perp MK\text{,}$ и $S_{C_{1}MK}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}K\cdot MK\text{.}$ Найдём $MK=\sqrt{M{A}_1^2+A_1{K}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{.}$ Тогда $S_{C_{1}MK}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{5}=16\sqrt{15}\text{.}$

Подставим:

$$h=8\sqrt{3}\cdot \frac{16}{16\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$$