В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 отметили точки M и K на рёбрах AA_1 и A_1B_1 соответственно. Известно, что AM = 3MA_1, A_1K = KB_1. Через точки M и K провели плоскость alpha перпендикулярно грани ABB_1A_1. а) Докажите, что плоскость alpha проходит через вершину C_1. б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости alpha, если все рёбра призмы равны 16.

а) Так как призма правильная, то A_1B_1C_1 — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана C_1K является также и высотой треугольника A_1B_1C_1. Отсюда KC_1 A_1B_1. Также так как призма правильная, то KC_1 AA_1. Получили, что KC_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (ABB_1), следовательно, KC_1 (ABB_1). Так как alpha (ABB_1), K in alpha и KC_1 (ABB_1), то KC_1 c alpha. Что и требовалось доказать. б) Так как все рёбра призмы равны 16, то MA_1 = 4, AM = 12, A_1K = KB_1 = 8. Пусть h — искомое расстояние от A_1 до плоскости alpha. Применим метод объёмов. Распишем объём пирамиды C_1A_1KM двумя способами: (1)/(3)* C_1K * S_(A_1MK) = (1)/(3)* h * S_(C_1MK), h = C_1K * (S_(A_1MK))/(S_(C_1MK)). Высота равностороннего треугольника со стороной 16: C_1K = (16sqrt(3))/(2) = 8sqrt(3). Треугольник A_1MK прямоугольный (MA_1 A_1K): S_(A_1MK) = (1)/(2)* MA_1 * A_1K = (1)/(2)* 4 * 8 = 16. Так как C_1K (ABB_1), то C_1K MK, и S_(C_1MK) = (1)/(2)* C_1K * MK. Найдём MK = sqrt(MA_1^2 + A_1K^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4sqrt(5). Тогда S_(C_1MK) = (1)/(2)* 8sqrt(3)* 4sqrt(5) = 16sqrt(15). Подставим: h = 8sqrt(3)* (16)/(16sqrt(15)) = (8sqrt(3))/(sqrt(15)) = (8)/(sqrt(5)) = (8sqrt(5))/(5).

\(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)