В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC , точка K делит ребро BC в отношении BK:KC = 3:1 , а AB = 2 и SO = sqrt(14) . а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA . б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD .

а) В треугольнике ASC точка O — середина диагонали AC (так как O — центр квадрата ABCD ), а M — середина ребра SC . Поэтому OM — средняя линия треугольника ASC , значит, OM SA. Плоскости (ASC) и (OMK) различны, так как точка Knot in (ASC) , но Oin (ASC) n (OMK) и Min (ASC) n (OMK) , следовательно, (ASC) n (OMK) = OM. Если бы прямая SA имела общую точку с плоскостью (OMK) , то, поскольку SAc (ASC) , эта общая точка лежала бы на линии пересечения плоскостей (ASC) и (OMK) , то есть на OM . Но SA OM , значит, SA не может пересекать OM . Противоречие. Следовательно, SA (OMK) . б) Обозначим l = (OMK) n (SAD) . Так как SA (OMK) и SAc (SAD) , то l SA . Пусть E = ln AD , F = ln SD . Тогда EF SA , и треугольники DEF и DAS подобны, поэтому (EF)/(SA) = (DE)/(DA). Найдём E . Поскольку (OMK) n (ABCD) = OK , а (SAD) n (ABCD) = AD , то точка E есть пересечение прямых OK и AD : E = OKn AD . Рассмотрим квадрат ABCD в плоскости и введём на этой плоскости координаты: A(0,0) , B(2,0) , C(2,2) , D(0,2) . Тогда O(1,1) . Точка K делит BC в отношении BK:KC = 3:1 , значит K(2, (3)/(2)). Прямая OK проходит через O(1,1) и K(2, (3)/(2)) , её угловой коэффициент равен (32 - 1)/(2 - 1) = (1)/(2), поэтому уравнение имеет вид y - 1 = (1)/(2)(x - 1) . На прямой AD имеем x = 0 , тогда y - 1 = (1)/(2)(0 - 1) = -(1)/(2)=> y = (1)/(2). Значит, E(0, (1)/(2)) , откуда DE = 2 - (1)/(2) = (3)/(2), DA = 2, (DE)/(DA) = (3)/(4). Найдём SA . В правильной пирамиде SO (ABCD) , поэтому треугольник SOA прямоугольный. Причём AO = (AC)/(2) = (2sqrt(2))/(2) = sqrt(2). Тогда SA = sqrt(SO^2 + AO^2) = sqrt(14 + 2) = 4. Следовательно, EF = SA*(DE)/(DA) = 4*(3)/(4) = 3. Ответ: а) SA (OMK) б) 3

а) \( SA\parallel (OMK) \) б) 3