Задача №15227

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC\text{,}$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1\text{,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA\text{.}$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD\text{.}$

а) В треугольнике $ASC$ точка $O$ — середина диагонали $AC$ (так как $O$ — центр квадрата $ABCD$), а $M$ — середина ребра $SC\text{.}$ Поэтому $OM$ — средняя линия треугольника $ASC\text{,}$ значит,

$$OM\parallel SA.$$

Плоскости $(ASC)$ и $(OMK)$ различны, так как точка $K\notin (ASC)\text{,}$ но $O\in (ASC)\cap (OMK)$ и $M\in (ASC)\cap (OMK)\text{,}$ следовательно,

$$(ASC)\cap (OMK)=OM.$$

Если бы прямая $SA$ имела общую точку с плоскостью $(OMK)\text{,}$ то, поскольку $SA\subset (ASC)\text{,}$ эта общая точка лежала бы на линии пересечения плоскостей $(ASC)$ и $(OMK)\text{,}$ то есть на $OM\text{.}$ Но $SA\parallel OM\text{,}$ значит, $SA$ не может пересекать $OM\text{.}$ Противоречие. Следовательно, $SA\parallel (OMK)\text{.}$

б) Обозначим $l=(OMK)\cap (SAD)\text{.}$ Так как $SA\parallel (OMK)$ и $SA\subset (SAD)\text{,}$ то $l\parallel SA\text{.}$

Пусть $E=l\cap AD\text{,}$ $F=l\cap SD\text{.}$ Тогда $EF\parallel SA\text{,}$ и треугольники $△DEF$ и $△DAS$ подобны, поэтому

$$\frac{EF}{SA}=\frac{DE}{DA}.$$

Найдём $E\text{.}$ Поскольку $(OMK)\cap (ABCD)=OK\text{,}$ а $(SAD)\cap (ABCD)=AD\text{,}$ то точка $E$ есть пересечение прямых $OK$ и $AD\text{:}$ $E=OK\cap AD\text{.}$

Рассмотрим квадрат $ABCD$ в плоскости и введём на этой плоскости координаты: $A(0,0)\text{,}$ $B(2,0)\text{,}$ $C(2,2)\text{,}$ $D(0,2)\text{.}$ Тогда $O(1,1)\text{.}$

Точка $K$ делит $BC$ в отношении $BK:KC=3:1\text{,}$ значит

$$K\left(2,\frac{3}{2}\right).$$

Прямая $OK$ проходит через $O(1,1)$ и $K\left(2,\frac{3}{2}\right)\text{,}$ её угловой коэффициент равен

$$\frac{\frac{3}{2}-1}{2-1}=\frac{1}{2},$$

поэтому уравнение имеет вид $y-1=\frac{1}{2}(x-1)\text{.}$ На прямой $AD$ имеем $x=0\text{,}$ тогда

$$y-1=\frac{1}{2}(0-1)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}.$$

Значит, $E\left(0,\frac{1}{2}\right)\text{,}$ откуда

$$DE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},DA=2,\frac{DE}{DA}=\frac{3}{4}.$$

Найдём $SA\text{.}$ В правильной пирамиде $SO\perp (ABCD)\text{,}$ поэтому треугольник $SOA$ прямоугольный. Причём

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$SA=\sqrt{S{O}^2+A{O}^2}=\sqrt{14+2}=4.$$

Следовательно,

$$EF=SA\cdot \frac{DE}{DA}=4\cdot \frac{3}{4}=3.$$

Ответ:

а) $SA\parallel (OMK)$

б) $3$