В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость alpha проходит через точки M и N параллельно прямой SO. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью alpha является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью alpha, если AD = 10, BC = 8, SO = 8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

а) Докажем, что сечение — трапеция. 1. В трапеции ABCD отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон AB и CD, является средней линией. Следовательно, MN AD BC. 2. Плоскость alpha проходит через MN и параллельна прямой SO. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая AD, параллельная MN, также параллельна alpha. 3. Пусть alpha пересекает рёбра SA и SD в точках L и K соответственно. Тогда отрезок KL — линия пересечения alpha с гранью SAD. Из параллельности alpha и AD следует KL AD, а значит, KL MN. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две стороны KL и MN параллельны. 4. Докажем, что KLMN не является параллелограммом. Введём точки: P = AC n MN, Q = BD n MN. В треугольнике ABC: M — середина AB, MN BC => P — середина AC. В треугольнике ABD: M — середина AB, MN AD => Q — середина BD. 5. Поскольку alpha SO, в плоскости SAC прямая PL SO, а в плоскости SBD прямая KQ SO. Отсюда PL KQ. Все точки P, L, K, Q лежат в alpha. 6. Найдём длину PQ: MN = (AD + BC)/(2) = (10 + 8)/(2) = 9, MP = (BC)/(2) = 4 (средняя линия в ABC), NQ = (BC)/(2) = 4 (средняя линия в BCD). Следовательно, PQ = MN - MP - NQ = 9 - 4 - 4 = 1. 7. Если бы KLMN был параллелограммом, то KL = MN = 9. Однако из параллельности PL и KQ и расположения точек в alpha можно заключить, что тогда KL = PQ = 1. Это противоречие. Значит, KL != MN, и KLMN — трапеция с основаниями KL и MN. б) Найдем площадь сечения. 1. Основания трапеции: MN = (AD + BC)/(2) = (10 + 8)/(2) = 9. Для нахождения KL используем подобие треугольников в грани SAD: так как KL AD, то SKL SAD. Поэтому (KL)/(AD) = (SL)/(SA). 2. Найдём отношение (SL)/(SA). Рассмотрим плоскость SAC: в ней PL SO, значит APL AOS. Отсюда (AL)/(SA) = (AP)/(AO). В трапеции диагонали делятся в отношении оснований: (AO)/(OC) = (AD)/(BC) = (10)/(8) = (5)/(4). Пусть AO = 5x, OC = 4x, тогда AC = 9x. Точка P — середина AC, поэтому AP = (AC)/(2) = 4,5x => (AP)/(AO) = (4,5x)/(5x) = (9)/(10). Следовательно, (AL)/(SA) = (9)/(10) => (SL)/(SA) = 1 - (9)/(10) = (1)/(10). Подставляем в подобие: (KL)/(10) = (1)/(10) => KL = 1. 3. Высота трапеции. Из условия SO AD и AD MN следует SO MN. Так как PL SO, то PL MN. Поэтому длина LP — высота трапеции. Из подобия APL AOS: (LP)/(SO) = (AP)/(AO) = (9)/(10) => LP = 8 * (9)/(10) = 7,2. 4. Площадь трапеции KLMN: S = (KL + MN)/(2) * LP = (1 + 9)/(2) * 7,2 = 5 * 7,2 = 36. Ответ: а) доказано б) 36

36