Задача №15240

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD\text{.}$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O\text{.}$ Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO\text{.}$

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha \text{,}$ если $AD=10\text{,}$ $BC=8\text{,}$ $SO=8\text{,}$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD\text{.}$

а) Докажем, что сечение — трапеция.

1. В трапеции $ABCD$ отрезок $MN\text{,}$ соединяющий середины боковых сторон $AB$ и $CD\text{,}$ является средней линией. Следовательно,

$$MN\parallel AD\parallel BC.$$

2. Плоскость $\alpha$ проходит через $MN$ и параллельна прямой $SO\text{.}$ По признаку параллельности прямой и плоскости прямая $AD\text{,}$ параллельная $MN\text{,}$ также параллельна $\alpha \text{.}$

3. Пусть $\alpha$ пересекает рёбра $SA$ и $SD$ в точках $L$ и $K$ соответственно. Тогда отрезок $KL$ — линия пересечения $\alpha$ с гранью $SAD\text{.}$ Из параллельности $\alpha$ и $AD$ следует $KL\parallel AD\text{,}$ а значит,

$$KL\parallel MN.$$

Таким образом, в четырёхугольнике $KLMN$ две стороны $KL$ и $MN$ параллельны.

4. Докажем, что $KLMN$ не является параллелограммом. Введём точки:

$$P=AC\cap MN,Q=BD\cap MN.$$

В треугольнике $ABC\text{:}$ $M$ — середина $AB\text{,}$ $MN\parallel BC\Rightarrow P$ - середина $AC\text{.}$

В треугольнике $ABD\text{:}$ $M$ — середина $AB\text{,}$ $MN\parallel AD\Rightarrow Q$ - середина $BD\text{.}$

5. Поскольку $\alpha \parallel SO\text{,}$ в плоскости $SAC$ прямая $PL\parallel SO\text{,}$ а в плоскости $SBD$ прямая $KQ\parallel SO\text{.}$ Отсюда

$$PL\parallel KQ.$$

Все точки $P,L,K,Q$ лежат в $\alpha \text{.}$

6. Найдём длину $PQ\text{:}$

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+8}{2}=9,$$ $$MP=\frac{BC}{2}=4(\text{средняя линия в }△ABC),$$ $$NQ=\frac{BC}{2}=4(\text{средняя линия в }△BCD).$$

Следовательно,

$$PQ=MN-MP-NQ=9-4-4=1.$$

7. Если бы $KLMN$ был параллелограммом, то $KL=MN=9\text{.}$ Однако из параллельности $PL$ и $KQ$ и расположения точек в $\alpha$ можно заключить, что тогда $KL=PQ=1\text{.}$ Это противоречие. Значит, $KL\ne MN\text{,}$ и $KLMN$ — трапеция с основаниями $KL$ и $MN\text{.}$

б) Найдем площадь сечения.

1. Основания трапеции:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+8}{2}=9.$$

Для нахождения $KL$ используем подобие треугольников в грани $SAD\text{:}$ так как $KL\parallel AD\text{,}$ то $△SKL\sim △SAD\text{.}$ Поэтому

$$\frac{KL}{AD}=\frac{SL}{SA}.$$

2. Найдём отношение $\frac{SL}{SA}\text{.}$ Рассмотрим плоскость $SAC\text{:}$ в ней $PL\parallel SO\text{,}$ значит $△APL\sim △AOS\text{.}$ Отсюда

$$\frac{AL}{SA}=\frac{AP}{AO}.$$

В трапеции диагонали делятся в отношении оснований:

$$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.$$

Пусть $AO=5x\text{,}$ $OC=4x\text{,}$ тогда $AC=9x\text{.}$ Точка $P$ — середина $AC\text{,}$ поэтому

$$AP=\frac{AC}{2}=4,5x\Rightarrow \frac{AP}{AO}=\frac{4,5x}{5x}=\frac{9}{10}.$$

Следовательно,

$$\frac{AL}{SA}=\frac{9}{10}\Rightarrow \frac{SL}{SA}=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}.$$

Подставляем в подобие:

$$\frac{KL}{10}=\frac{1}{10}\Rightarrow KL=1.$$

3. Высота трапеции. Из условия $SO\perp AD$ и $AD\parallel MN$ следует $SO\perp MN\text{.}$ Так как $PL\parallel SO\text{,}$ то $PL\perp MN\text{.}$ Поэтому длина $LP$ — высота трапеции.

Из подобия $△APL\sim △AOS\text{:}$

$$\frac{LP}{SO}=\frac{AP}{AO}=\frac{9}{10}\Rightarrow LP=8\cdot \frac{9}{10}=7,2.$$

4. Площадь трапеции $KLMN\text{:}$

$$S=\frac{KL+MN}{2}\cdot LP=\frac{1+9}{2}\cdot 7,2=5\cdot 7,2=36.$$

Ответ:

а) доказано

б) 36